Dmitry
66 lines
3.2 KiB
Markdown
66 lines
3.2 KiB
Markdown
---
|
|
status: processing
|
|
type: concept
|
|
tags:
|
|
- math
|
|
- mephi
|
|
- statistics
|
|
- factor-analysis
|
|
created: 2026-01-20
|
|
updated: 2026-05-07
|
|
title: Алгоритм Оценки Главных Факторов. Матрица Индивидуальных Значений ГФ
|
|
---
|
|
|
|
# Алгоритм Оценки Главных Факторов. Матрица Индивидуальных Значений ГФ
|
|
|
|
## Оценка ГФ
|
|
Оценка корреляционной матрицы исходных признаков:
|
|
$$x^{*}=(x_{1}^{*},\dots,x_{k}^{*})^{T} \in N(0,\Sigma_{x^{*}})\ \ \ \Sigma_{x^{*}}=R$$
|
|
$$X = \begin{pmatrix} x_{11} & \dots & x_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{k1} & \dots & x_{kn} \end{pmatrix}$$ - матрица "свойство-объект" (центрировано-нормированная)
|
|
|
|
Оценка матрицы парных коэффициентов корреляции: $\hat{R} = \frac{1}{n}XX^{T}$
|
|
|
|
Проверка гипотезы о незначимости корреляционной матрицы (критерий Уилкса)
|
|
|
|
$$H_{0}: R=E_{k}$$
|
|
$$H_{1}: R \neq E_{k}$$
|
|
$$\chi^{2}=-(n-\frac{1}{6}(2k+5))\ln|\hat{R}| \in \chi^{2}(v)$$
|
|
$$v = \frac{k(k-1)}{2}$$
|
|
**<u>Метод оценки общности</u>**: $\hat{h}^{2}_{i}=R^{2}_{x_{i}/(\dots)}$
|
|
|
|
**<u>Критерий Лоули:</u>**
|
|
$H_{0}$: $m$ ГФ достаточно
|
|
$H_{1}:\ m$ ГФ не достаточно
|
|
$m < \frac{k-1}{2}$
|
|
|
|
$$\chi^{2}=(n-1)\ln{\frac{|AA^{T}|}{|\hat{R}|}}\in \chi^{2}(v)$$
|
|
$$v = \frac{1}{2}((k-m)^{2}-k-m)$$
|
|
**<u>Критерий Кайзера</u>**: отбор факторов $СЧ>1$
|
|
**<u>Критерий каменистой осыпи</u>**: число факторов выбирается по точке излома, после которой СЧ убывают медленно или почти линейно.
|
|
|
|
## Матрица Индивидуальных Значений ГФ
|
|
$$x_{ij}=a_{i1}f_{1j}+\dots+a_{im}f_{mj}+d_{i}v_{ij},\ \ i=\overline{1,k}, \ \ j=\overline{1,n}$$
|
|
$X = Af+Dv$
|
|
|
|
$f = \pmatrix{f_{11} & \dots & f_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{m1} & \dots & f_{mn}}$
|
|
|
|
$v = \pmatrix{v_{11} & \dots & v_{1n} \\ \vdots \\ v_{k1} & \dots & v_{kn}}$
|
|
|
|
$f_{j} = \pmatrix{f_{1j}\\f_{2j}\\\vdots\\f_{mj}}$ - индивидуальные значения ГФ для $j$-го объекта
|
|
$x_{j}=\pmatrix{x_{1j}\\\vdots\\x_{kj}}$ - наблюдаемое значение признаков для $j$-го объекта
|
|
|
|
## Оценка Индивидуальных Значений ГФ. Метод Бартлетта
|
|
Представим модель линейной множественной регрессии:
|
|
$x_{j}=z\beta_{j}+\epsilon_{j}$ - ЛММР, $j=\overline{1,n}$
|
|
|
|
$z = \pmatrix{z_{11} & \dots & z_{1m} \\ \vdots \\ z_{k1} & \dots & z_{km}}=A$;
|
|
|
|
$\beta_{j} = \pmatrix{\beta_{1j}\\\vdots\\\beta_{mj}}=f_{j};$
|
|
|
|
$\epsilon_{j}=\pmatrix{\epsilon_{1j}\\\vdots\\\epsilon_{kj}}$
|
|
|
|
$\Sigma_{\epsilon_{j}}=M(\epsilon_{j}*\epsilon_{j}^{T})=D^{2}$
|
|
$\hat{\beta_{j}}=(z^{T}(D^{2})^{-1}z)^{-1}(z^{T}(D^{2})^{-1}x_{j});$
|
|
$b_{омнк} = (X^{T}\Sigma^{-1}X)^{-1}(X^{T}\Sigma^{-1}Y)$
|
|
$\hat{f}_{j}=(A^{T}(D^{2})^{-1}A)^{-1}(A^{T}(D^{2})^{-1}X_{j})$
|