---
status: processing
type: concept
tags:
  - math
  - mephi
  - statistics
  - factor-analysis
created: 2026-01-20
updated: 2026-05-07
title: Алгоритм Оценки Главных Факторов. Матрица Индивидуальных Значений ГФ
---

# Алгоритм Оценки Главных Факторов. Матрица Индивидуальных Значений ГФ

## Оценка ГФ
Оценка корреляционной матрицы исходных признаков:
$$x^{*}=(x_{1}^{*},\dots,x_{k}^{*})^{T} \in N(0,\Sigma_{x^{*}})\ \ \ \Sigma_{x^{*}}=R$$
$$X = \begin{pmatrix} x_{11} & \dots & x_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{k1} & \dots & x_{kn} \end{pmatrix}$$ - матрица "свойство-объект" (центрировано-нормированная)

Оценка матрицы парных коэффициентов корреляции: $\hat{R} = \frac{1}{n}XX^{T}$ 

Проверка гипотезы о незначимости корреляционной матрицы (критерий Уилкса)

$$H_{0}: R=E_{k}$$
$$H_{1}: R \neq E_{k}$$
$$\chi^{2}=-(n-\frac{1}{6}(2k+5))\ln|\hat{R}| \in \chi^{2}(v)$$
$$v = \frac{k(k-1)}{2}$$
**<u>Метод оценки общности</u>**: $\hat{h}^{2}_{i}=R^{2}_{x_{i}/(\dots)}$

**<u>Критерий Лоули:</u>**
$H_{0}$: $m$ ГФ достаточно
$H_{1}:\ m$ ГФ не достаточно
$m < \frac{k-1}{2}$

$$\chi^{2}=(n-1)\ln{\frac{|AA^{T}|}{|\hat{R}|}}\in \chi^{2}(v)$$
$$v = \frac{1}{2}((k-m)^{2}-k-m)$$
**<u>Критерий Кайзера</u>**: отбор факторов $СЧ>1$
**<u>Критерий каменистой осыпи</u>**: число факторов выбирается по точке излома, после которой СЧ убывают медленно или почти линейно.

## Матрица Индивидуальных Значений ГФ
$$x_{ij}=a_{i1}f_{1j}+\dots+a_{im}f_{mj}+d_{i}v_{ij},\ \ i=\overline{1,k}, \ \ j=\overline{1,n}$$
$X = Af+Dv$

$f = \pmatrix{f_{11} & \dots & f_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{m1} & \dots & f_{mn}}$ 

$v = \pmatrix{v_{11} & \dots & v_{1n} \\ \vdots \\ v_{k1} & \dots & v_{kn}}$

$f_{j} = \pmatrix{f_{1j}\\f_{2j}\\\vdots\\f_{mj}}$ - индивидуальные значения ГФ для $j$-го объекта
$x_{j}=\pmatrix{x_{1j}\\\vdots\\x_{kj}}$ - наблюдаемое значение признаков для $j$-го объекта

## Оценка Индивидуальных Значений ГФ. Метод Бартлетта
Представим модель линейной множественной регрессии:
$x_{j}=z\beta_{j}+\epsilon_{j}$ - ЛММР,  $j=\overline{1,n}$

$z = \pmatrix{z_{11} & \dots & z_{1m} \\ \vdots \\ z_{k1} & \dots & z_{km}}=A$;  

$\beta_{j} = \pmatrix{\beta_{1j}\\\vdots\\\beta_{mj}}=f_{j};$  

$\epsilon_{j}=\pmatrix{\epsilon_{1j}\\\vdots\\\epsilon_{kj}}$

$\Sigma_{\epsilon_{j}}=M(\epsilon_{j}*\epsilon_{j}^{T})=D^{2}$
$\hat{\beta_{j}}=(z^{T}(D^{2})^{-1}z)^{-1}(z^{T}(D^{2})^{-1}x_{j});$
$b_{омнк} = (X^{T}\Sigma^{-1}X)^{-1}(X^{T}\Sigma^{-1}Y)$
$\hat{f}_{j}=(A^{T}(D^{2})^{-1}A)^{-1}(A^{T}(D^{2})^{-1}X_{j})$