Dmitry
48 lines
2.4 KiB
Markdown
48 lines
2.4 KiB
Markdown
---
|
|
status: stable
|
|
type: concept
|
|
tags:
|
|
- math
|
|
- mephi
|
|
- statistics
|
|
- time-series
|
|
created: 2026-01-21
|
|
updated: 2026-05-07
|
|
title: Скользящее Среднее Порядка $q$
|
|
---
|
|
|
|
# Скользящее Среднее Порядка $q$
|
|
Стохастический процесс называется процессом скользящего среднего порядка $q$, если в [[Разложение Вольда|разложении Вольда]] присутствует только $q$ слагаемых.
|
|
|
|
**<u>Модель</u>**: берется взвешенная сумма каких-то $q$ белых шумов.
|
|
|
|
$MA(q): x_{t}=\epsilon_{t}+\beta_{1}*\epsilon_{t-1}+\beta_{2}*\epsilon_{t-2}+\dots+\beta_{q}*\epsilon_{t-q}$
|
|
|
|
Запись с использованием [[Лаговый оператор|лагового оператора]]:
|
|
$$MA(q): L^{0}\epsilon_{t}+\beta_{1}*L\epsilon_{t}+\beta_{2}*L^{2}\epsilon_{t}+\dots+\beta_{q}*\epsilon_{t-q}=$$
|
|
$$= \underbrace{(L^0 +\beta_{1}L + \beta_{2}L^{2}+\dots+\beta_{q}L^{q})}_{\text{Операторный полином}}\epsilon_{t}=\beta_{q}(L)\epsilon_{t}$$
|
|
## $MA(I)$ - Процесс СС 1-го Порядка
|
|
$x_{t}=\epsilon_{t}+\beta_{1}\epsilon_{t-1}$
|
|
|
|
**<u>Статистические характеристики</u>**:
|
|
$M=0$
|
|
$\gamma_{0}=(1-\beta_{1}^{\alpha})\sigma^{2}$
|
|
$\gamma_{1}=\beta_{1}*\sigma^{2}$
|
|
$\gamma_{\alpha}=\gamma_{3}=\dots=0$
|
|
$\rho_{1}=\frac{\beta_{1}}{1+\beta_{1}^{2}}; \quad \rho_{2}=\rho_{3}=\dots=0$
|
|
|
|
## $MA(q)$ - Процесс СС Порядка $q$
|
|
$x_{t}=\epsilon_{t}+\beta_{1}\epsilon_{t-1}+\dots+\beta_{q}*\epsilon_{t-q}$
|
|
|
|
Фактически это сложение белых шумов, просто собраны модели разных порядков.
|
|
|
|
Процесс стационарен при любых значениях $\beta_{1},\dotsm\,\beta_{q}$
|
|
|
|
**<u>Свойства АКФ, ЧАКФ</u>**:
|
|
|
|
| | АКФ | ЧАКФ |
|
|
| -------------------- | ------------------- | ------------------------------- |
|
|
| $MA(1)$<br>$b_{1}>0$ | Зануление при $k>1$ | Осциллирующее затухание |
|
|
| $MA(1)$<br>$b_{1}<0$ | Зануление при $k>1$ | Убывание по абсолютной величине |
|
|
| $MA(q)$ | Зануление при $k>q$ | |
|