---
status: stable
type: concept
tags:
  - math
  - mephi
  - statistics
  - time-series
created: 2026-01-21
updated: 2026-05-07
title: Скользящее Среднее Порядка $q$
---

# Скользящее Среднее Порядка $q$
Стохастический процесс называется процессом скользящего среднего порядка $q$, если в [[Разложение Вольда|разложении Вольда]] присутствует только $q$ слагаемых.

**<u>Модель</u>**: берется взвешенная сумма каких-то $q$ белых шумов.

$MA(q): x_{t}=\epsilon_{t}+\beta_{1}*\epsilon_{t-1}+\beta_{2}*\epsilon_{t-2}+\dots+\beta_{q}*\epsilon_{t-q}$

Запись с использованием [[Лаговый оператор|лагового оператора]]:
$$MA(q): L^{0}\epsilon_{t}+\beta_{1}*L\epsilon_{t}+\beta_{2}*L^{2}\epsilon_{t}+\dots+\beta_{q}*\epsilon_{t-q}=$$
$$= \underbrace{(L^0 +\beta_{1}L + \beta_{2}L^{2}+\dots+\beta_{q}L^{q})}_{\text{Операторный полином}}\epsilon_{t}=\beta_{q}(L)\epsilon_{t}$$
## $MA(I)$ - Процесс СС 1-го Порядка
$x_{t}=\epsilon_{t}+\beta_{1}\epsilon_{t-1}$

**<u>Статистические характеристики</u>**:
$M=0$
$\gamma_{0}=(1-\beta_{1}^{\alpha})\sigma^{2}$
$\gamma_{1}=\beta_{1}*\sigma^{2}$
$\gamma_{\alpha}=\gamma_{3}=\dots=0$
$\rho_{1}=\frac{\beta_{1}}{1+\beta_{1}^{2}}; \quad \rho_{2}=\rho_{3}=\dots=0$

## $MA(q)$ - Процесс СС Порядка $q$
$x_{t}=\epsilon_{t}+\beta_{1}\epsilon_{t-1}+\dots+\beta_{q}*\epsilon_{t-q}$

Фактически это сложение белых шумов, просто собраны модели разных порядков.

Процесс стационарен при любых значениях $\beta_{1},\dotsm\,\beta_{q}$

**<u>Свойства АКФ, ЧАКФ</u>**:

|                      | АКФ                 | ЧАКФ                            |
| -------------------- | ------------------- | ------------------------------- |
| $MA(1)$<br>$b_{1}>0$ | Зануление при $k>1$ | Осциллирующее затухание         |
| $MA(1)$<br>$b_{1}<0$ | Зануление при $k>1$ | Убывание по абсолютной величине |
| $MA(q)$              | Зануление при $k>q$ |                                 |