Dmitry
32 lines
1.6 KiB
Markdown
32 lines
1.6 KiB
Markdown
---
|
|
status: processing
|
|
type: concept
|
|
tags:
|
|
- math
|
|
- mephi
|
|
- ml
|
|
- statistics
|
|
- time-series
|
|
created: 2026-01-21
|
|
updated: 2026-05-07
|
|
title: Разложение Вольда
|
|
---
|
|
|
|
# Разложение Вольда
|
|
## Теорема Вольда
|
|
$$x_{t}-\mu =\sum\limits_{\tau=0}^{\infty}\psi_{\tau}*\epsilon_{t-\tau}\qquad (\sum\limits_{\tau=0}^{\infty}\psi_{\tau}<\infty,\quad\psi_{0}=1)$$
|
|
Где:
|
|
$x_{t}$ - чисто недетерминированный стационарный в широком смысле случайный процесс;
|
|
$\mu$ - мат.ожидание процесса;
|
|
$\psi_{\tau}$ - весовые коэффициенты;
|
|
$\epsilon_{t-\tau}$ - белый шум с конечным мат. ожиданием и дисперсией.
|
|
|
|
> $\psi_{0}=1$ т.к. реализации белого шума ненаблюдаемы, весовые коэффициенты определены с точностью до множителя.
|
|
|
|
Любой стационарный процесс может быть представлен в виде бесконечного ряда членов белого шума с коэффициентами, образующими абсолютно сходящийся числовой ряд.
|
|
|
|
Это означает, что стационарный $AR(I)$ процесс можно представить, как процесс $MA(\infty)$. Данное свойство называется **<u>обратимостью</u>**.
|
|
|
|
Таким образом, нет фундаментальной разницы между $AR$ и $MA$ представлением ВР.
|
|
|