---
status: processing
type: concept
tags:
  - math
  - mephi
  - ml
  - statistics
  - time-series
created: 2026-01-21
updated: 2026-05-07
title: Разложение Вольда
---

# Разложение Вольда
## Теорема Вольда
$$x_{t}-\mu =\sum\limits_{\tau=0}^{\infty}\psi_{\tau}*\epsilon_{t-\tau}\qquad (\sum\limits_{\tau=0}^{\infty}\psi_{\tau}<\infty,\quad\psi_{0}=1)$$
Где:
$x_{t}$ - чисто недетерминированный стационарный в широком смысле случайный процесс;
$\mu$ - мат.ожидание процесса;
$\psi_{\tau}$ - весовые коэффициенты;
$\epsilon_{t-\tau}$ - белый шум с конечным мат. ожиданием и дисперсией.

> $\psi_{0}=1$ т.к. реализации белого шума ненаблюдаемы, весовые коэффициенты определены с точностью до множителя.

Любой стационарный процесс может быть представлен в виде бесконечного ряда членов белого шума с коэффициентами, образующими абсолютно сходящийся числовой ряд.

Это означает, что стационарный $AR(I)$ процесс можно представить, как процесс $MA(\infty)$. Данное свойство называется **<u>обратимостью</u>**.
 
Таким образом, нет фундаментальной разницы между $AR$ и $MA$ представлением ВР.