Dmitry
45 lines
2.9 KiB
Markdown
45 lines
2.9 KiB
Markdown
---
|
|
status: seed
|
|
type: concept
|
|
tags:
|
|
- math
|
|
- mephi
|
|
- statistics
|
|
- factor-analysis
|
|
created: 2026-01-20
|
|
updated: 2026-05-07
|
|
title: Этапы ФА. Выделение Факторов
|
|
---
|
|
|
|
# Этапы ФА. Выделение Факторов
|
|
## Этапы Факторного Анализа
|
|
![[Pasted image 20260120213958.png|600]]
|
|
|
|
1) Стандартизация данных
|
|
2) По $x$ вычисляем корреляционная матрица $R$.
|
|
3) Проверка гипотезы о незначимости $R_{x}$
|
|
4) Оценка общностей
|
|
5) Выделение числа факторов (Критерий Кайзера, Лоули, график "Каменистой осыпи")
|
|
6) Нахождение матрицы факторных нагрузок $A$ из $R=A*A^{T}$
|
|
7) Вращение факторов (матрицы $A$) для получения наилучшей интерпретации
|
|
8) Матрица индивидуальных значений $(F:U)$ и оценка значений факторов
|
|
|
|
## Выделение Факторов
|
|
Установление числа факторов и направления осей координат, соответствующих общим факторам.
|
|
|
|
С вычислительной точки зрения: проблема факторов означает определение ранга матрицы $A$ и оценивание её элементов:
|
|
1) Метод Главных Факторов
|
|
2) Метод Максимального Правдоподобия
|
|
|
|
---
|
|
|
|
**<u>Матричное уравнение</u>** $R_{h}=AA^{T}$ имеет множество решений: любое ортогональное преобразование $B$, переводящее $A$ в $G$, т.е. $G=AB$, ему удовлетворяет:
|
|
$$\implies A=GB^{T} \implies [B^{-1}=B^{T}] \implies R_{h}=GB^{T}(GB^{T})^{T} =$$ $$= GB^{T}BG^{T}=GEG^{T}=GG^{T}$$
|
|
**<u>Требование</u>**: каждая следующая ось ориентированная по направлению $max$ дисперсии в пространстве, ортогональном предыдущей ГК.
|
|
Матрица весовых коэффициентов составлена из СВ. корреляционной матрицы $R$.
|
|
|
|
Матрица весовых коэффициентов составлена из СВ корреляционной матрицы $R$:
|
|
$R_{h}U=U\lambda | * U^{-1}$ ($\lambda$ - матрица на диагоналях СЗ корреляционной матрицы)
|
|
$R_{h}UU^{-1}=U\lambda U^{1}$
|
|
$R_{h}=U\lambda U^{-1}=U\lambda U^{T} = U\lambda^\frac{1}{2}\lambda^{1/2}U^{T}=AA^{T}$, где $A=U\lambda^{1/2}$
|
|
$A$ получаем, применяя МГК к $R_{n}$, и $A$ будет матрицей факторного отображения. |