vault backup: 2026-05-07 15:32:13
This commit is contained in:
Dmitry
+1
-1
@@ -1,5 +1,5 @@
|
||||
{
|
||||
"useCache": false,
|
||||
"useCache": true,
|
||||
"hideExcluded": false,
|
||||
"recencyBoost": "0",
|
||||
"downrankedFoldersFilters": [],
|
||||
|
||||
Vendored
+7
-8
@@ -13,13 +13,13 @@
|
||||
"state": {
|
||||
"type": "markdown",
|
||||
"state": {
|
||||
"file": "01 Library/11 Machine Learning/Обратное распространение ошибки.md",
|
||||
"file": "01 Library/11 Machine Learning/Обратное распространение ошибки - вывод.md",
|
||||
"mode": "preview",
|
||||
"source": false,
|
||||
"backlinks": false
|
||||
},
|
||||
"icon": "lucide-file",
|
||||
"title": "Обратное распространение ошибки"
|
||||
"title": "Обратное распространение ошибки - вывод"
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
]
|
||||
@@ -170,13 +170,13 @@
|
||||
"state": {
|
||||
"type": "outline",
|
||||
"state": {
|
||||
"file": "00 Inbox/Git.md",
|
||||
"file": "01 Library/11 Machine Learning/Обратное распространение ошибки - вывод.md",
|
||||
"followCursor": false,
|
||||
"showSearch": false,
|
||||
"searchQuery": ""
|
||||
},
|
||||
"icon": "lucide-list",
|
||||
"title": "Outline of Git"
|
||||
"title": "Outline of Обратное распространение ошибки - вывод"
|
||||
}
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
@@ -226,8 +226,7 @@
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"direction": "horizontal",
|
||||
"width": 261.5,
|
||||
"collapsed": true
|
||||
"width": 261.5
|
||||
},
|
||||
"left-ribbon": {
|
||||
"hiddenItems": {
|
||||
@@ -248,6 +247,8 @@
|
||||
},
|
||||
"active": "cb9f1037ae0492db",
|
||||
"lastOpenFiles": [
|
||||
"01 Library/11 Machine Learning/Обратное распространение ошибки.md",
|
||||
"01 Library/11 Machine Learning/Нейронные сети.md",
|
||||
"01 Library/11 Machine Learning/Обратное распространение ошибки - вывод.md",
|
||||
"00 Inbox/Hello.md",
|
||||
"00 Inbox/Обратное распространение ошибки - вывод.md",
|
||||
@@ -272,8 +273,6 @@
|
||||
"00 Inbox/Git.md",
|
||||
"00 Inbox/Archive/Шаблонизатор Helm.md",
|
||||
"00 Inbox/Archive/УИР.md",
|
||||
"00 Inbox/Archive/Основные команды git.md",
|
||||
"00 Inbox/Archive/Обратное распространение ошибки - вывод.md",
|
||||
"00 Inbox/Archive",
|
||||
"01 Library/03 Math/Теория нечетких множеств/Теория нечетких множеств.md.tmp.254945.1777751883191",
|
||||
"01 Library/02 DevOps/Ansible/Ansible - основы.md.tmp.254945.1777751876503",
|
||||
|
||||
@@ -3,7 +3,7 @@ status: processing
|
||||
type: concept
|
||||
tags: []
|
||||
created: 2025-12-17
|
||||
updated: 2026-04-13
|
||||
updated: 2026-05-07
|
||||
title: Нейронные сети - ДВ
|
||||
---
|
||||
|
||||
@@ -100,6 +100,14 @@ $X^{p} \to D^{p}$
|
||||
Перспептрон решает задачу линейной разделимости:
|
||||
Разбиение гиперпространства гиперплоскостями.
|
||||
|
||||
# Алгоритм обратного распространения ошибки
|
||||
## Обучение нейронных сетей
|
||||
|
||||
$y` = y*(1-y)$
|
||||
Обучение сети с учителем сводится к настройке весов так, чтобы выход $Y$ был близок к целевому ответу $D$. Для многослойных сетей основной алгоритм вычисления градиентов - [[Обратное распространение ошибки]].
|
||||
|
||||
Если в качестве функции активации используется сигмоида, её производная выражается через уже вычисленное значение функции:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
y'=y(1-y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Это удобно для обратного прохода: при вычислении локальной ошибки нейрона не нужно заново считать сложную производную активации.
|
||||
|
||||
@@ -1,5 +1,5 @@
|
||||
---
|
||||
status: seed
|
||||
status: stable
|
||||
type: concept
|
||||
tags:
|
||||
- machine-learning
|
||||
@@ -12,7 +12,9 @@ title: Обратное распространение ошибки - вывод
|
||||
|
||||
# Обратное распространение ошибки - вывод
|
||||
|
||||
Эта заметка фиксирует математический вывод градиента для алгоритма [[Обратное распространение ошибки]]. Общий контекст нейронных сетей находится в [[Нейронные сети]].
|
||||
Эта заметка фиксирует математический вывод градиентов для алгоритма [[Обратное распространение ошибки]]. Общий контекст нейронных сетей находится в [[Нейронные сети]].
|
||||
|
||||
Рассматривается сеть с одним скрытым слоем. Bias для краткости не записан: его градиент считается так же, как градиент веса при входе, равном $1$.
|
||||
|
||||
## Обозначения
|
||||
|
||||
@@ -25,7 +27,8 @@ title: Обратное распространение ошибки - вывод
|
||||
> $S_{l}^{(2)}$ — взвешенная сумма на входе нейрона $l$ во втором слое
|
||||
> $y_{l}$ — выход нейрона $l$ второго слоя
|
||||
> $d_{l}$ — истинное значение
|
||||
> $F$ — функция активации
|
||||
> $F$ — функция активации
|
||||
> $\delta$ — локальная ошибка нейрона
|
||||
|
||||
## Прямой проход
|
||||
|
||||
@@ -33,6 +36,7 @@ $$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
S_{i}^{(1)} &= \sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}^{(1)}x_{j} \\
|
||||
u_{i} &= F(S_{i}^{(1)}) \\
|
||||
S_l^{(2)} &= \sum\limits_{i=1}^{k}w_{li}^{(2)}u_i \\
|
||||
y_{l} &= F(S_{l}^{(2)}) \\
|
||||
E &= \frac{1}{2}\sum\limits_{l=1}^{m}(y_{l}-d_{l})^{2}
|
||||
\end{align*}
|
||||
@@ -44,33 +48,33 @@ $$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\frac{dE}{dw_{li}^{(2)}} &=
|
||||
\frac{dE}{dy_{l}}
|
||||
\frac{\partial E}{\partial w_{li}^{(2)}} &=
|
||||
\frac{\partial E}{\partial y_{l}}
|
||||
\cdot
|
||||
\frac{dy_{l}}{dS_{l}^{(2)}}
|
||||
\frac{\partial y_{l}}{\partial S_{l}^{(2)}}
|
||||
\cdot
|
||||
\frac{dS_{l}^{(2)}}{dw_{li}^{(2)}}
|
||||
\frac{\partial S_{l}^{(2)}}{\partial w_{li}^{(2)}}
|
||||
\end{align*}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Компоненты производной:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\frac{dE}{dy_l}=y_l-d_l
|
||||
\frac{\partial E}{\partial y_l}=y_l-d_l
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\frac{dy_l}{dS_l^{(2)}}=F'(S_l^{(2)})
|
||||
\frac{\partial y_l}{\partial S_l^{(2)}}=F'(S_l^{(2)})
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\frac{dS_l^{(2)}}{dw_{li}^{(2)}}=u_i
|
||||
\frac{\partial S_l^{(2)}}{\partial w_{li}^{(2)}}=u_i
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Итог:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\frac{dE}{dw_{li}^{(2)}}=(y_l-d_l)F'(S_l^{(2)})u_i
|
||||
\frac{\partial E}{\partial w_{li}^{(2)}}=(y_l-d_l)F'(S_l^{(2)})u_i
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Введём локальную ошибку выходного нейрона:
|
||||
@@ -82,7 +86,7 @@ $$
|
||||
Тогда:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\frac{dE}{dw_{li}^{(2)}}=\delta_l^{(2)}u_i
|
||||
\frac{\partial E}{\partial w_{li}^{(2)}}=\delta_l^{(2)}u_i
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## Обратный проход для скрытого слоя
|
||||
@@ -130,7 +134,7 @@ $$
|
||||
Так как:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
S_l^{(2)}=\sum w_{li}^{(2)}u_i
|
||||
S_l^{(2)}=\sum\limits_{i=1}^{k}w_{li}^{(2)}u_i
|
||||
$$
|
||||
|
||||
То:
|
||||
@@ -154,7 +158,7 @@ $$
|
||||
Так как:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
S_i^{(1)}=\sum w_{ij}^{(1)}x_j
|
||||
S_i^{(1)}=\sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}^{(1)}x_j
|
||||
$$
|
||||
|
||||
То:
|
||||
@@ -210,7 +214,34 @@ $$
|
||||
|
||||
Ошибка выходного слоя $\delta_l^{(2)}$ проходит назад через вес $w_{li}^{(2)}$, суммируется по всем выходным нейронам и умножается на крутизну активации скрытого слоя. Так получается локальная ошибка $\delta_i^{(1)}$ для каждого скрытого нейрона.
|
||||
|
||||
## Итоговые формулы
|
||||
|
||||
Для слоя $r$ общий шаблон такой:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\frac{\partial E}{\partial w_{ij}^{(r)}}=\delta_i^{(r)}a_j^{(r-1)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
где $a_j^{(r-1)}$ - выход предыдущего слоя. Для первого слоя $a_j^{(0)}=x_j$, для второго слоя $a_i^{(1)}=u_i$.
|
||||
|
||||
Для выходного слоя:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\delta_l^{(2)}=(y_l-d_l)F'(S_l^{(2)})
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Для скрытого слоя:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\delta_i^{(1)}
|
||||
=
|
||||
F'(S_i^{(1)})
|
||||
\sum\limits_{l=1}^{m}
|
||||
\delta_l^{(2)}w_{li}^{(2)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## Связанные заметки
|
||||
|
||||
- [[Обратное распространение ошибки]]
|
||||
- [[Нейронные сети]]
|
||||
- [[Линейные модели]]
|
||||
|
||||
@@ -1,40 +1,147 @@
|
||||
---
|
||||
status: seed
|
||||
status: stable
|
||||
type: concept
|
||||
tags: []
|
||||
tags:
|
||||
- machine-learning
|
||||
- neural-networks
|
||||
- backpropagation
|
||||
- gradient-descent
|
||||
created: 2025-12-17
|
||||
updated: 2026-04-21
|
||||
updated: 2026-05-07
|
||||
title: Обратное распространение ошибки
|
||||
---
|
||||
|
||||
# Обратное распространение ошибки
|
||||
## Функция активации
|
||||
|
||||
$$u_{i} = \left(\sum\limits_{i=0}^{n} w^{1}_{ij}*x_{j}\right)$$
|
||||
**Обратное распространение ошибки** (*backpropagation*) - алгоритм вычисления градиентов функции ошибки по весам многослойной [[Нейронные сети|нейронной сети]]. После вычисления градиентов веса обновляются методом градиентного спуска.
|
||||
|
||||
$$y_{l}=f\left(\sum\limits_{i=1}^{k}w_{li}^{2}u_{i}\right)$$
|
||||
Главная идея: сначала сеть делает прямой проход и получает предсказание, затем ошибка распространяется от выходного слоя назад к предыдущим слоям. Для каждого веса считается, насколько изменение этого веса повлияло на итоговую ошибку.
|
||||
|
||||
$$y_{l}=f\left(\sum\limits_{i=0}^{k}w_{li}^{2} f\left(\sum\limits^{N}_{j=1}w_{ij}^{(1)}x_{j}\right)\right),\ l=\overline{1,m}$$
|
||||
## Где используется
|
||||
|
||||
## Алгоритм обратного распространения ошибки
|
||||
Backpropagation нужен при обучении сетей с учителем:
|
||||
|
||||
- Итеративный градиентный алгоритм обучения, который используется с целью минимизации среднеквадратичного отклонения текущих от требуемых выходов многослойных нейронных сетей с последовательными связями.
|
||||
- На каждом шаге алгоритма на вход сети поочередно подаются все обучающие примеры, реальные выходные значения сети сравниваются с требуемыми значениями, и вычисляется ошибка.
|
||||
- Значение ошибки, а также градиента поверхности ошибок используется для корректировки весов, после чего все действия повторяются.
|
||||
- Процесс обучения прекращается либо когда пройдено определенное количество шагов обучения, либо когда ошибка достигнет некоторого определенного малого уровня.
|
||||
$$
|
||||
X^{(p)} \rightarrow Y^{(p)} \approx D^{(p)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Минимизация ошибки происходит методом градиентного спуска (итеративный метод приближения к точке минимума функции)
|
||||
где:
|
||||
- $X^{(p)}$ - входной объект;
|
||||
- $Y^{(p)}$ - выход сети;
|
||||
- $D^{(p)}$ - целевой ответ;
|
||||
- $p$ - номер обучающего примера.
|
||||
|
||||
$$w_{ij}(t+1)=w_{ij}(t)-\alpha*\frac{\delta E(k)}{\delta w_{ij}(t)},$$$$i=\overline{1,n},\ j=\overline{1,p}$$
|
||||
Алгоритм применим к многослойным сетям, если функции активации дифференцируемы или хотя бы имеют используемую на практике производную почти всюду.
|
||||
|
||||
Здесь $w_{ij}$ - весовой коэффициент синаптической связи, соединяющий $i$-ый нейрон слоя $n-1$ с $j$-ым нейроном слоя $n$.
|
||||
## Прямой проход
|
||||
|
||||
$\alpha$ - коэффициент скорости обучения ($0 < \alpha < 1$)
|
||||
Для сети с одним скрытым слоем:
|
||||
|
||||
$E$ - среднеквадратичная ошибка сети для одного из $p$ образов, определяемая по формуле:
|
||||
$$
|
||||
S_i^{(1)}=\sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}^{(1)}x_j
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$E=\frac{1}{2}\sum\limits_{l=1}^{m}(y_{l}-d_{l})^{2}$$
|
||||
$$
|
||||
u_i=F(S_i^{(1)})
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
S_l^{(2)}=\sum\limits_{i=1}^{k}w_{li}^{(2)}u_i
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
y_l=F(S_l^{(2)})
|
||||
$$
|
||||
|
||||
В развёрнутом виде:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
y_l=
|
||||
F\left(
|
||||
\sum\limits_{i=1}^{k}
|
||||
w_{li}^{(2)}
|
||||
F\left(
|
||||
\sum\limits_{j=1}^{n}
|
||||
w_{ij}^{(1)}x_j
|
||||
\right)
|
||||
\right),
|
||||
\quad l=\overline{1,m}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## Функция ошибки
|
||||
|
||||
Для одного обучающего примера часто используют квадратичную ошибку:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
E=\frac{1}{2}\sum\limits_{l=1}^{m}(y_l-d_l)^2
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Коэффициент $\frac{1}{2}$ нужен только для удобства производной: при дифференцировании квадрат даёт множитель $2$, который сокращается.
|
||||
|
||||
## Обновление весов
|
||||
|
||||
Минимизация ошибки происходит через градиентный спуск:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
w_{ij}(t+1)=w_{ij}(t)-\alpha\frac{\partial E}{\partial w_{ij}(t)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
где:
|
||||
- $w_{ij}$ - вес связи;
|
||||
- $t$ - номер шага обучения;
|
||||
- $\alpha$ - скорость обучения (*learning rate*);
|
||||
- $\frac{\partial E}{\partial w_{ij}}$ - производная ошибки по весу.
|
||||
|
||||
Если производная положительная, увеличение веса увеличивает ошибку, поэтому вес уменьшается. Если производная отрицательная, вес увеличивается.
|
||||
|
||||
## Алгоритм
|
||||
|
||||
1. Подать входной вектор $X$ на вход сети.
|
||||
2. Выполнить прямой проход и получить выходы всех слоёв.
|
||||
3. Посчитать ошибку $E$ между предсказанием $Y$ и целевым ответом $D$.
|
||||
4. Посчитать ошибку выходного слоя $\delta^{(2)}$.
|
||||
5. Распространить ошибку назад и посчитать ошибки скрытых слоёв $\delta^{(1)}$.
|
||||
6. Найти градиенты по весам.
|
||||
7. Обновить веса в направлении антиградиента.
|
||||
8. Повторять до выполнения условия остановки: лимит эпох, малая ошибка, малая норма градиента или отсутствие улучшения.
|
||||
|
||||
## Локальная ошибка слоя
|
||||
|
||||
Для выходного слоя:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\delta_l^{(2)}=(y_l-d_l)F'(S_l^{(2)})
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Для скрытого слоя:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\delta_i^{(1)}
|
||||
=
|
||||
F'(S_i^{(1)})
|
||||
\sum\limits_{l=1}^{m}
|
||||
\delta_l^{(2)}w_{li}^{(2)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
То есть ошибка скрытого нейрона - это сумма ошибок следующего слоя, взвешенная связями с этим слоем, умноженная на производную активации скрытого нейрона.
|
||||
|
||||
## Интуиция
|
||||
|
||||
Backpropagation - это не отдельный способ оптимизации, а эффективный способ вычислить градиенты. Оптимизацию делает градиентный спуск или его модификации: SGD, Momentum, Adam и т.д.
|
||||
|
||||
Смысл $\delta$:
|
||||
- на выходном слое $\delta$ показывает, насколько нейрон ошибся с учётом производной активации;
|
||||
- на скрытом слое прямого целевого ответа нет, поэтому ошибка собирается из всех нейронов следующего слоя;
|
||||
- градиент веса получается как локальная ошибка нейрона, в который входит вес, умноженная на вход этого веса.
|
||||
|
||||
## Иллюстрации
|
||||
|
||||
![[Pasted image 20260417105754.png|536]]
|
||||
|
||||
![[Pasted image 20260417105833.png|540]]
|
||||
![[Pasted image 20260417105833.png|540]]
|
||||
|
||||
## Связанные заметки
|
||||
|
||||
- [[Обратное распространение ошибки - вывод]]
|
||||
- [[Нейронные сети]]
|
||||
- [[Линейные модели]]
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user