vault backup: 2026-05-29 07:44:14
This commit is contained in:
Dmitry
@@ -0,0 +1,82 @@
|
||||
---
|
||||
status: seed
|
||||
type: concept
|
||||
tags:
|
||||
- math
|
||||
- mephi
|
||||
- decision-making
|
||||
created: 2026-05-29
|
||||
updated: 2026-05-29
|
||||
title: Метод анализа иерархий
|
||||
source: "[[МИАД_Л4_иерархии.pdf]]"
|
||||
---
|
||||
|
||||
# Метод анализа иерархий
|
||||
|
||||
Метод анализа иерархий (МАИ) используется для выбора лучшей альтернативы при нескольких критериях, в том числе разнородных и качественных.
|
||||
|
||||
## Идея
|
||||
|
||||
Задача выбора раскладывается на иерархию:
|
||||
- цель;
|
||||
- критерии и подцели;
|
||||
- альтернативы.
|
||||
|
||||
Затем элементы каждого уровня попарно сравниваются по влиянию на элемент верхнего уровня.
|
||||
|
||||
## Шкала Саати
|
||||
|
||||
Попарные сравнения обычно задаются 9-балльной шкалой:
|
||||
- `1` — нет преимущества;
|
||||
- `3` — слабое преимущество;
|
||||
- `5` — существенное преимущество;
|
||||
- `7` — явное преимущество;
|
||||
- `9` — абсолютное преимущество;
|
||||
- `2`, `4`, `6`, `8` — промежуточные оценки;
|
||||
- обратные значения — преимущество в обратную сторону.
|
||||
|
||||
Матрица сравнений обратно-симметрична:
|
||||
|
||||
$$a_{ij} = \frac{1}{a_{ji}}$$
|
||||
|
||||
## Этапы
|
||||
|
||||
1. Описать проблему и цель.
|
||||
2. Построить иерархию критериев и альтернатив.
|
||||
3. Построить матрицы попарных сравнений.
|
||||
4. Вычислить локальные приоритеты.
|
||||
5. Проверить согласованность матриц.
|
||||
6. Повторить сравнения для всех уровней.
|
||||
7. Синтезировать глобальные приоритеты альтернатив.
|
||||
8. Оценить согласованность всей иерархии.
|
||||
|
||||
## Локальные приоритеты
|
||||
|
||||
Для матрицы попарных сравнений веса можно приближённо вычислить как среднее геометрическое строк:
|
||||
|
||||
$$w_j = \sqrt[n]{\prod_{l=1}^{n} a_{jl}}$$
|
||||
|
||||
После этого веса нормируются, чтобы получить вектор приоритетов.
|
||||
|
||||
## Согласованность
|
||||
|
||||
Полностью согласованная матрица обладает транзитивностью:
|
||||
|
||||
$$a_{ij} = a_{ik}a_{kj}$$
|
||||
|
||||
На практике экспертные суждения обычно не полностью согласованы, поэтому считают индекс согласованности:
|
||||
|
||||
$$CI = \frac{\lambda_{max} - n}{n - 1}$$
|
||||
|
||||
И отношение согласованности:
|
||||
|
||||
$$CR = \frac{CI}{RI}$$
|
||||
|
||||
Обычно приемлемым считают $CR \le 10\%$.
|
||||
|
||||
## Результат
|
||||
|
||||
Итог МАИ — глобальные приоритеты альтернатив. Чем выше приоритет, тем предпочтительнее альтернатива в рамках построенной иерархической модели.
|
||||
|
||||
## Связанные заметки
|
||||
- [[Функция принадлежности]]
|
||||
+58
-3
@@ -1,12 +1,14 @@
|
||||
---
|
||||
status: seed
|
||||
status: processing
|
||||
type: concept
|
||||
tags:
|
||||
- math
|
||||
- mephi
|
||||
- fuzzy-sets
|
||||
created: 2025-12-17
|
||||
updated: 2026-05-07
|
||||
updated: 2026-05-29
|
||||
title: Логические операции над нечеткими множествами
|
||||
source: "[[МИАД_Л1.pdf]]"
|
||||
---
|
||||
|
||||
# Логические операции над нечеткими множествами
|
||||
@@ -37,7 +39,60 @@ title: Логические операции над нечеткими множ
|
||||
## Разность
|
||||
Разностью двух множеств называется множество $A - B = A \cap \overline{B}$ с функцией принадлежности: $$\mu_{A-B}(u)=\mu_{A \cap \overline{B}}(u) = \min(\mu_{A}(u),\mu_{\overline{B}}(u)) = \min(\mu_{A}(u), 1-\mu_{B}(u))$$
|
||||
|
||||
## Дизъюнктивная сумма
|
||||
|
||||
Дизъюнктивная сумма:
|
||||
|
||||
$$A \oplus B = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$$
|
||||
|
||||
$$\mu_{A \oplus B}(u) = \max(\min(\mu_A(u), 1 - \mu_B(u)), \min(1 - \mu_A(u), \mu_B(u)))$$
|
||||
|
||||
## Свойства
|
||||
|
||||
Для конъюнкции и дизъюнкции выполняются:
|
||||
- коммутативность;
|
||||
- ассоциативность;
|
||||
- идемпотентность;
|
||||
- дистрибутивность;
|
||||
- инволюция;
|
||||
- законы де Моргана.
|
||||
|
||||
Не выполняются классические свойства дополнения:
|
||||
|
||||
$$A \cup \overline{A} \ne U$$
|
||||
|
||||
$$A \cap \overline{A} \ne \varnothing$$
|
||||
|
||||
## Алгебраические операции
|
||||
|
||||
Алгебраическое произведение:
|
||||
|
||||
$$\mu_{A \cdot B}(u) = \mu_A(u)\mu_B(u)$$
|
||||
|
||||
Алгебраическая сумма:
|
||||
|
||||
$$\mu_{A + B}(u) = \mu_A(u) + \mu_B(u) - \mu_A(u)\mu_B(u)$$
|
||||
|
||||
Степень нечеткого множества:
|
||||
|
||||
$$\mu_{A^\alpha}(u) = \mu_A^\alpha(u)$$
|
||||
|
||||
При $\alpha = 2$ получается концентрирование, при $\alpha = 0.5$ — растяжение.
|
||||
|
||||
## Нечеткие операторы
|
||||
|
||||
Операции объединения, пересечения и отрицания можно обобщать разными способами.
|
||||
|
||||
Треугольная норма — обобщение конъюнкции. Примеры: минимум, алгебраическое произведение, t-норма Лукасевича.
|
||||
|
||||
Треугольная конорма — обобщение дизъюнкции. Примеры: максимум, алгебраическая сумма, t-конорма Лукасевича.
|
||||
|
||||
Основные пары операций:
|
||||
- логика Заде — `min` и `max`;
|
||||
- вероятностная логика — алгебраическое произведение и алгебраическая сумма;
|
||||
- логика Лукасевича — t-норма и t-конорма Лукасевича.
|
||||
|
||||
## Связанные заметки
|
||||
- [[Линейные модели]] — линейная разделимость в ML (жёсткая граница) vs нечёткие операции (мягкая граница); оба решают задачу разделения классов
|
||||
- [[Функция принадлежности]] — операции определены через μ
|
||||
|
||||
- [[Нечеткий вывод]] — разные импликации используют разные операции над функциями принадлежности
|
||||
|
||||
@@ -0,0 +1,61 @@
|
||||
---
|
||||
status: seed
|
||||
type: concept
|
||||
tags:
|
||||
- math
|
||||
- mephi
|
||||
- fuzzy-sets
|
||||
created: 2026-05-29
|
||||
updated: 2026-05-29
|
||||
title: Нечеткие отношения
|
||||
source: "[[МИАД_Л2.pdf]]"
|
||||
---
|
||||
|
||||
# Нечеткие отношения
|
||||
|
||||
Нечеткое отношение $R$ на универсальном множестве $U = U_1 \times U_2$ — это нечеткое подмножество декартова произведения с функцией принадлежности:
|
||||
|
||||
$$\mu_R(x, y): U_1 \times U_2 \to [0, 1]$$
|
||||
|
||||
Значение $\mu_R(x, y)$ трактуется как субъективная мера выполнения отношения $xRy$.
|
||||
|
||||
## Отличие от четкого отношения
|
||||
|
||||
Четкое бинарное отношение отвечает на вопрос «связаны элементы или нет». Нечеткое отношение показывает силу связи: например, вес дуги во взвешенном графе.
|
||||
|
||||
Примеры:
|
||||
- «$x$ и $y$ близкие числа»;
|
||||
- «$x$ намного больше $y$»;
|
||||
- качественные связи между объектами системы, где простое да/нет теряет информацию.
|
||||
|
||||
## Способы задания
|
||||
|
||||
Для конечных универсумов отношение удобно задавать матрицей: строки соответствуют элементам $U_1$, столбцы — элементам $U_2$, значения ячеек — степеням принадлежности.
|
||||
|
||||
Для счетных или конечных множеств отношение также можно интерпретировать как взвешенный граф.
|
||||
|
||||
## Операции
|
||||
|
||||
На нечеткие отношения переносятся операции для [[Логические операции над нечеткими множествами|нечетких множеств]]:
|
||||
- носитель: пары, для которых $\mu_R(x, y) > 0$;
|
||||
- объединение;
|
||||
- пересечение;
|
||||
- отрицание;
|
||||
- отношение уровня $\alpha$: пары, для которых $\mu_R(x, y) \ge \alpha$.
|
||||
|
||||
## Композиции отношений
|
||||
|
||||
Основные композиции:
|
||||
|
||||
$$\mu_{AB}(x, z) = \max_y \min(\mu_A(x, y), \mu_B(y, z))$$
|
||||
|
||||
$$\mu_{A \circ B}(x, z) = \min_y \max(\mu_A(x, y), \mu_B(y, z))$$
|
||||
|
||||
$$\mu_{A * B}(x, z) = \sup_y \mu_A(x, y)\mu_B(y, z)$$
|
||||
|
||||
Максиминная композиция особенно важна для [[Нечеткий вывод|нечеткого вывода]].
|
||||
|
||||
## Связанные заметки
|
||||
- [[Теория нечетких множеств]]
|
||||
- [[Функция принадлежности]]
|
||||
- [[Нечеткий вывод]]
|
||||
@@ -0,0 +1,69 @@
|
||||
---
|
||||
status: seed
|
||||
type: concept
|
||||
tags:
|
||||
- math
|
||||
- mephi
|
||||
- fuzzy-sets
|
||||
created: 2026-05-29
|
||||
updated: 2026-05-29
|
||||
title: Нечеткий вывод
|
||||
source: "[[МИАД_Л3_нечеткий_вывод.pdf]]"
|
||||
---
|
||||
|
||||
# Нечеткий вывод
|
||||
|
||||
Нечеткий логический вывод — это аппроксимация зависимости выходной лингвистической переменной от входных переменных через базу знаний и операции над нечеткими множествами.
|
||||
|
||||
## Нечеткая и лингвистическая переменная
|
||||
|
||||
Нечеткая переменная задаётся кортежем $\langle X, U, \tilde{X} \rangle$, где:
|
||||
- $X$ — имя переменной;
|
||||
- $U$ — универсум;
|
||||
- $\tilde{X}$ — нечеткое множество, ограничивающее значения переменной.
|
||||
|
||||
Лингвистическая переменная задаётся кортежем $\langle \beta, T, U, G, M \rangle$, где:
|
||||
- $\beta$ — имя переменной;
|
||||
- $T$ — терм-множество;
|
||||
- $U$ — универсум;
|
||||
- $G$ — синтаксическая процедура образования новых значений;
|
||||
- $M$ — семантическая процедура, сопоставляющая значениям нечеткие переменные.
|
||||
|
||||
Например, значения лингвистической переменной «возраст»: «молодой», «среднего возраста», «пожилой».
|
||||
|
||||
## Импликация
|
||||
|
||||
В нечеткой логике импликация может задаваться разными способами. В лекции используются:
|
||||
- импликация Мамдани — минимум функций принадлежности;
|
||||
- импликация Ларсена — произведение функций принадлежности.
|
||||
|
||||
## Композиционное правило вывода
|
||||
|
||||
Если $A$ — нечеткое подмножество универсума $U$, а $F$ — нечеткое подмножество $U \times V$, то результат вывода:
|
||||
|
||||
$$B = A \circ F$$
|
||||
|
||||
При импликации Мамдани обычно используется максиминная композиция:
|
||||
|
||||
$$\mu_B(v) = \max_u \min(\mu_A(u), \mu_F(u, v))$$
|
||||
|
||||
## Этапы нечеткого вывода
|
||||
|
||||
1. Фаззификация — вычисление степени истинности предпосылок правил для конкретных входных значений.
|
||||
2. Импликация — применение степени истинности предпосылки к заключению правила.
|
||||
3. Композиция — объединение результатов правил в одно нечеткое множество для выходной переменной.
|
||||
4. Дефаззификация — необязательное преобразование нечеткого результата в четкое значение.
|
||||
|
||||
## Алгоритмы
|
||||
|
||||
**Мамдани:** заключение правила отсекается минимумом, результаты правил объединяются максимумом.
|
||||
|
||||
**Ларсен:** заключение масштабируется произведением, композиция может выполняться максимумом или суммированием.
|
||||
|
||||
**Цукамото:** заключения должны иметь монотонные функции принадлежности; для каждого правила получается четкое значение, итог считается как взвешенное среднее.
|
||||
|
||||
## Связанные заметки
|
||||
- [[Теория нечетких множеств]]
|
||||
- [[Нечеткие отношения]]
|
||||
- [[Функция принадлежности]]
|
||||
- [[Логические операции над нечеткими множествами]]
|
||||
@@ -1,12 +1,14 @@
|
||||
---
|
||||
status: seed
|
||||
status: processing
|
||||
type: concept
|
||||
tags:
|
||||
- math
|
||||
- mephi
|
||||
- fuzzy-sets
|
||||
created: 2026-02-17
|
||||
updated: 2026-05-07
|
||||
updated: 2026-05-29
|
||||
title: Определение Нечеткого Множества
|
||||
source: "[[МИАД_Л1.pdf]]"
|
||||
---
|
||||
|
||||
# Определение Нечеткого Множества
|
||||
@@ -21,6 +23,10 @@ title: Определение Нечеткого Множества
|
||||
|
||||
<u>Нечеткое множество $A$ на универсуме ($U$)</u> - это совокупность пар вида $u,\mu_{A}(u)$, где $\mu_{A}(u)$ - [[Функция принадлежности|функция принадлежности]] нечеткого множества $A:U \to [0,1]$.
|
||||
|
||||
Нечеткая логика удобна, когда нужно формализовать качественные понятия естественного языка: «большой», «молодой», «популярный». Такое понятие сначала задаётся функцией принадлежности, а затем используется как математический объект.
|
||||
|
||||
Плюс подхода — описание задачи языком, близким к естественному. Минус — зависимость модели от ЛПР или экспертов: вид и параметры функции принадлежности выбираются субъективно.
|
||||
|
||||
Примеры:
|
||||
1) $U = (a,b,c,d,e,f)$, то $A = (\frac{0}{a},\frac{1}{b}, \frac{0.5}{c}, \dots)$
|
||||
2) $U=\{a,b,c,d,e\};\ A=\{\{a,0\}, \{b,0.1\},\{c,0.5\},\{d,0.9\},\{e,1\}\};$
|
||||
|
||||
@@ -1,12 +1,12 @@
|
||||
---
|
||||
status: stable
|
||||
status: processing
|
||||
type: moc
|
||||
tags:
|
||||
- math
|
||||
- mephi
|
||||
- fuzzy-sets
|
||||
created: 2026-05-02
|
||||
updated: 2026-05-07
|
||||
updated: 2026-05-29
|
||||
title: Теория Нечетких Множеств
|
||||
---
|
||||
|
||||
@@ -16,6 +16,8 @@ title: Теория Нечетких Множеств
|
||||
- [[Доказательство законов Де Моргана]]
|
||||
- [[Коэффициенты функций принадлежности]]
|
||||
- [[Логические операции над нечеткими множествами]]
|
||||
- [[Нечеткие отношения]]
|
||||
- [[Нечеткий вывод]]
|
||||
- [[Определение нечеткого множества]]
|
||||
- [[Функция принадлежности]]
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -1,13 +1,16 @@
|
||||
---
|
||||
status: stable
|
||||
status: processing
|
||||
type: concept
|
||||
tags:
|
||||
- math
|
||||
- mephi
|
||||
- fuzzy-sets
|
||||
created: 2026-02-17
|
||||
updated: 2026-05-07
|
||||
updated: 2026-05-29
|
||||
title: Функция принадлежности
|
||||
source:
|
||||
- "[[МИАД_Л1.pdf]]"
|
||||
- "[[МИАД_Л2.pdf]]"
|
||||
---
|
||||
|
||||
# Функция принадлежности
|
||||
@@ -17,6 +20,15 @@ title: Функция принадлежности
|
||||
- **Прямые** - эксперт самостоятельно задает функцию. (исп. для измеримых понятий - рост, время, скорость и т.д.)
|
||||
- **Косвенные** - характеристики выделяются исходя из попарных сравнений объектов.
|
||||
|
||||
Перед построением функции принадлежности важно понять шкалу измерения признака:
|
||||
- номинальная — категории без порядка;
|
||||
- порядковая — категории упорядочены, но расстояния между ними не интерпретируются;
|
||||
- интервальная — имеют смысл разности значений;
|
||||
- относительная — имеют смысл и разности, и отношения;
|
||||
- дихотомическая — частный случай номинальной шкалы с двумя значениями.
|
||||
|
||||
Прямые методы обычно применяются для признаков в относительной шкале. Косвенные методы применяются, когда данные качественные или категориальные; распространённый вариант — парные сравнения по шкале Саати.
|
||||
|
||||
## Типовые формы кривых
|
||||
|
||||
### Треугольная (trimf)
|
||||
@@ -42,4 +54,3 @@ title: Функция принадлежности
|
||||
## Связанные заметки
|
||||
- [[Метрические алгоритмы]] — $\hat{P}_c(x)$ в kNN возвращает значение в [0,1], аналогично μ_A; оба представляют "мягкую" принадлежность классу
|
||||
- [[Линейные модели]] — сигмоидальная функция принадлежности = та же сигмоида в логистической регрессии
|
||||
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user