Dmitry
194 lines
6.1 KiB
Markdown
194 lines
6.1 KiB
Markdown
---
|
|
status: seed
|
|
type: concept
|
|
tags:
|
|
- math
|
|
- mephi
|
|
- fuzzy-sets
|
|
created: 2026-05-29
|
|
updated: 2026-05-29
|
|
title: Краткая теория с важными формулами по нечетким выводам
|
|
---
|
|
|
|
# Краткая теория с важными формулами по нечетким выводам
|
|
|
|
Нечеткий вывод — способ получить заключение из правил вида «если ..., то ...», когда входы, условия и выводы описаны через степени принадлежности, а не через строгие булевы значения.
|
|
|
|
Базовая идея: четкие входы переводятся в степени принадлежности, правила активируются с разной силой, их выводы объединяются, а при необходимости результат переводится обратно в четкое число.
|
|
|
|
Связано: [[Нечеткий вывод]], [[Теория нечетких множеств]], [[Функция принадлежности]], [[Нечеткие отношения]], [[Логические операции над нечеткими множествами]].
|
|
|
|
## Нечеткое множество
|
|
|
|
Нечеткое множество $A$ на универсуме $X$ задается функцией принадлежности:
|
|
|
|
$$
|
|
\mu_A: X \to [0, 1]
|
|
$$
|
|
|
|
где $\mu_A(x)$ — степень принадлежности элемента $x$ множеству $A$.
|
|
|
|
Классическая запись:
|
|
|
|
$$
|
|
A = \{(x, \mu_A(x)) \mid x \in X\}
|
|
$$
|
|
|
|
## Правило нечеткого вывода
|
|
|
|
Типовое правило:
|
|
|
|
$$
|
|
R_i: \text{если } x_1 \text{ есть } A_{i1} \land \dots \land x_n \text{ есть } A_{in}, \text{ то } y \text{ есть } B_i
|
|
$$
|
|
|
|
Для четкого входа $x^* = (x_1^*, \dots, x_n^*)$ сначала считаются степени выполнения условий:
|
|
|
|
$$
|
|
\mu_{A_{ij}}(x_j^*)
|
|
$$
|
|
|
|
Сила активации правила:
|
|
|
|
$$
|
|
\alpha_i = T(\mu_{A_{i1}}(x_1^*), \dots, \mu_{A_{in}}(x_n^*))
|
|
$$
|
|
|
|
где $T$ — t-норма. Частые варианты:
|
|
|
|
$$
|
|
T(a, b) = \min(a, b)
|
|
$$
|
|
|
|
$$
|
|
T(a, b) = a \cdot b
|
|
$$
|
|
|
|
Для дизъюнкции часто используют s-норму:
|
|
|
|
$$
|
|
S(a, b) = \max(a, b)
|
|
$$
|
|
|
|
или
|
|
|
|
$$
|
|
S(a, b) = a + b - ab
|
|
$$
|
|
|
|
## Схема нечеткого вывода
|
|
|
|
1. Фаззификация — вычислить степени принадлежности входов термам.
|
|
2. Агрегация условий — получить силу активации каждого правила $\alpha_i$.
|
|
3. Импликация — применить $\alpha_i$ к заключению правила.
|
|
4. Аккумуляция — объединить результаты всех правил.
|
|
5. Дефаззификация — получить четкое значение, если оно нужно.
|
|
|
|
## Мамдани
|
|
|
|
В выводе Мамдани заключение правила остается нечетким множеством.
|
|
|
|
Импликация через минимум:
|
|
|
|
$$
|
|
\mu_{B_i'}(y) = \min(\alpha_i, \mu_{B_i}(y))
|
|
$$
|
|
|
|
Объединение правил через максимум:
|
|
|
|
$$
|
|
\mu_B(y) = \max_i \mu_{B_i'}(y)
|
|
$$
|
|
|
|
Центроидная дефаззификация:
|
|
|
|
$$
|
|
y^* = \frac{\int_Y y \mu_B(y) dy}{\int_Y \mu_B(y) dy}
|
|
$$
|
|
|
|
Для дискретного универсума:
|
|
|
|
$$
|
|
y^* = \frac{\sum_k y_k \mu_B(y_k)}{\sum_k \mu_B(y_k)}
|
|
$$
|
|
|
|
Мамдани удобен, когда важно получить интерпретируемые правила с лингвистическими заключениями.
|
|
|
|
## Ларсен
|
|
|
|
В импликации Ларсена заключение не отсекается, а масштабируется:
|
|
|
|
$$
|
|
\mu_{B_i'}(y) = \alpha_i \cdot \mu_{B_i}(y)
|
|
$$
|
|
|
|
Дальше результаты правил обычно объединяются максимумом:
|
|
|
|
$$
|
|
\mu_B(y) = \max_i \mu_{B_i'}(y)
|
|
$$
|
|
|
|
## Сугено
|
|
|
|
В выводе Сугено заключение правила — четкая функция входов:
|
|
|
|
$$
|
|
R_i: \text{если } x \text{ есть } A_i, \text{ то } z_i = f_i(x)
|
|
$$
|
|
|
|
Частый вариант первого порядка:
|
|
|
|
$$
|
|
z_i = p_{i0} + p_{i1}x_1 + \dots + p_{in}x_n
|
|
$$
|
|
|
|
Итог:
|
|
|
|
$$
|
|
z^* = \frac{\sum_i \alpha_i z_i}{\sum_i \alpha_i}
|
|
$$
|
|
|
|
Если $z_i$ — константа, получается Сугено нулевого порядка.
|
|
|
|
## Цукамото
|
|
|
|
В методе Цукамото заключения правил должны иметь монотонные функции принадлежности. Для каждого правила находится четкое значение $z_i$ из условия:
|
|
|
|
$$
|
|
\mu_{B_i}(z_i) = \alpha_i
|
|
$$
|
|
|
|
Итоговое значение:
|
|
|
|
$$
|
|
z^* = \frac{\sum_i \alpha_i z_i}{\sum_i \alpha_i}
|
|
$$
|
|
|
|
## Композиционное правило вывода
|
|
|
|
Если $A$ — нечеткое множество на $X$, а $R$ — нечеткое отношение на $X \times Y$, то вывод:
|
|
|
|
$$
|
|
B = A \circ R
|
|
$$
|
|
|
|
Максиминная композиция:
|
|
|
|
$$
|
|
\mu_B(y) = \max_{x \in X} \min(\mu_A(x), \mu_R(x, y))
|
|
$$
|
|
|
|
Макс-произведение:
|
|
|
|
$$
|
|
\mu_B(y) = \max_{x \in X} \mu_A(x) \cdot \mu_R(x, y)
|
|
$$
|
|
|
|
## Что запомнить
|
|
|
|
- Мамдани: нечеткое заключение, минимум для импликации, максимум для объединения, затем дефаззификация.
|
|
- Ларсен: заключение масштабируется произведением.
|
|
- Сугено: заключение — формула или константа, итог — взвешенное среднее.
|
|
- Цукамото: монотонные заключения, каждое правило дает четкий результат.
|
|
- Главная формула силы правила: $\alpha_i = T(\mu_{A_{i1}}(x_1^*), \dots, \mu_{A_{in}}(x_n^*))$.
|