Dmitry
46 lines
4.8 KiB
Markdown
46 lines
4.8 KiB
Markdown
---
|
|
status: seed
|
|
type: concept
|
|
tags:
|
|
- math
|
|
- mephi
|
|
- statistics
|
|
- factor-analysis
|
|
created: 2026-01-20
|
|
updated: 2026-05-07
|
|
title: Факторный Анализ. Цели И Сущность. Постановка Задачи. Отличие От Анализа Главных Компонент
|
|
---
|
|
|
|
# Факторный Анализ. Цели И Сущность. Постановка Задачи. Отличие От Анализа Главных Компонент
|
|
|
|
## Цели И Сущность
|
|
**<u>Факторный анализ</u>** - совокупность методов, направленных на выявление скрытых (латентных) переменных, называемых **факторами**, которые объясняют связи между наблюдаемыми признаками.
|
|
- **<u>Сущность</u>** - предполагается, что корреляция между большим числом измеряемых характеристик обусловлена влиянием небольшого числа ненаблюдаемых факторов.
|
|
- **Цели**:
|
|
- Сокращение размерности (переход к меньшему кол-ву признаков без существенной потери информации)
|
|
- Выявление структуры данных (определения скрытых взаимосвязей и группировка признаков)
|
|
- Интерпретация (присвоение выявленным факторам содержательного смысла)
|
|
|
|
## Постановка Задачи
|
|
В ФА каждый исходный признак $X_{i}$ представляется в виде линейной комбинации $m$ **общих** **факторов** и одного **характерного** (специфического) фактора.
|
|
|
|
$$X_{i}=a_{i1}F_{1}+a_{i2}F_{2}+\dots+a_{im}F_{m}+d_{i}U_{i}$$
|
|
Где:
|
|
1) $X_{i}$ - $i$-ый исходный признак ($i=1,\dots,k$)
|
|
2) $F_{j}$ - $j$-ый исходный фактор ($j=1,\dots,m$, причем, $m < k$)
|
|
Эти факторы влияют на все или несколько признаков.
|
|
3) $a_{ij}$ - **факторная нагрузка**. (коэффициент корреляции между $i$-ым признаком и $j$-ым фактором)
|
|
4) $U_{i}$ - характерный фактор, влияющий только на признак $X_{i}$ (ошибка измерения или уникальные свойства)
|
|
5) $d_{i}$ - нагрузка характерного фактора.
|
|
|
|
## Отличия ФА От МГК
|
|
|
|
| Характеристика | МГК | ФА |
|
|
| --------------------- | ------------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------------------------- |
|
|
| Логика модели | Компоненты - это линейные комбинации признаков | Признаки - это лин. комбинации факторов |
|
|
| Цель | Максимизация объясненной общей дисперсии всех признаков | Объяснение **ковариации** между признаками |
|
|
| Структура дисперсии | Вся дисперсия признака считается полезной | Дисперсия делится на **общность** (объясняемая общими факторами) и **характерность** (уникальность) |
|
|
| Диагональ матрицы | Полная корреляционная матрица (на диагонали единицы) | Редуцированная матрица (на диагонали - оценки общностей) |
|
|
| Количество переменных | Кол-во компонент может быть равно количеству признаков | Количество факторов всегда строго меньше количества признаков |
|
|
| Метод | Дедукция (от признаков к сумме) | Индукция (от скрытых причин к внешним проявлениям) |
|