SecondBrain/90 Library/03 Math/Статистика/Факторный анализ/Факторный анализ. Цели и сущность. Постановка задачи. Отличие от анализа главных компонент.md

status, type, tags, created, updated, title

status	type	tags	created	updated	title
seed	concept	math mephi statistics factor-analysis	2026-01-20	2026-05-07	Факторный Анализ. Цели И Сущность. Постановка Задачи. Отличие От Анализа Главных Компонент

Факторный Анализ. Цели И Сущность. Постановка Задачи. Отличие От Анализа Главных Компонент

Цели И Сущность

Факторный анализ - совокупность методов, направленных на выявление скрытых (латентных) переменных, называемых факторами, которые объясняют связи между наблюдаемыми признаками.

• Сущность - предполагается, что корреляция между большим числом измеряемых характеристик обусловлена влиянием небольшого числа ненаблюдаемых факторов.
• Цели:
  • Сокращение размерности (переход к меньшему кол-ву признаков без существенной потери информации)
  • Выявление структуры данных (определения скрытых взаимосвязей и группировка признаков)
  • Интерпретация (присвоение выявленным факторам содержательного смысла)

Постановка Задачи

В ФА каждый исходный признак X_{i} представляется в виде линейной комбинации m общих факторов и одного характерного (специфического) фактора.

X_{i}=a_{i1}F_{1}+a_{i2}F_{2}+\dots+a_{im}F_{m}+d_{i}U_{i}

Где:

1. X_{i} - $i$-ый исходный признак (i=1,\dots,k)
2. F_{j} - $j$-ый исходный фактор (j=1,\dots,m, причем, m < k) Эти факторы влияют на все или несколько признаков.
3. a_{ij} - факторная нагрузка. (коэффициент корреляции между $i$-ым признаком и $j$-ым фактором)
4. U_{i} - характерный фактор, влияющий только на признак X_{i} (ошибка измерения или уникальные свойства)
5. d_{i} - нагрузка характерного фактора.

Отличия ФА От МГК

Характеристика	МГК	ФА
Логика модели	Компоненты - это линейные комбинации признаков	Признаки - это лин. комбинации факторов
Цель	Максимизация объясненной общей дисперсии всех признаков	Объяснение ковариации между признаками
Структура дисперсии	Вся дисперсия признака считается полезной	Дисперсия делится на общность (объясняемая общими факторами) и характерность (уникальность)
Диагональ матрицы	Полная корреляционная матрица (на диагонали единицы)	Редуцированная матрица (на диагонали - оценки общностей)
Количество переменных	Кол-во компонент может быть равно количеству признаков	Количество факторов всегда строго меньше количества признаков
Метод	Дедукция (от признаков к сумме)	Индукция (от скрытых причин к внешним проявлениям)