Dmitry
31 lines
2.2 KiB
Markdown
31 lines
2.2 KiB
Markdown
---
|
|
status: stable
|
|
type: concept
|
|
tags:
|
|
- mephi
|
|
- math
|
|
- statistics
|
|
- factor-analysis
|
|
created: 2026-01-20
|
|
updated: 2026-05-07
|
|
title: Процедура Построения Первой И Остальных Главных Компонент
|
|
---
|
|
|
|
# Процедура Построения Первой И Остальных Главных Компонент
|
|
## Процедура Построения Первой ГК
|
|
Используется метод множителей Лагранжа:
|
|
1) **Ф-я Лагранжа**:
|
|
$\phi(U,\lambda)=U_{1}^{T}\Sigma_{X}U_{1}-\lambda(U_{1}^{T}U_{1}-1)\to\max$.
|
|
2) **Нахождение производных**:
|
|
Дифференцирование по $U$ приводит к: $(\Sigma_{X}-\lambda E)U_{1}=0$
|
|
3) **Составление характеристического уравнения**:
|
|
Чтобы система имела ненулевое решение, определитель матрицы должен быть равен нулю.
|
|
4) **Поиск собственных чисел**:
|
|
Решение дает $k$ вещественных неотрицательных корней $\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{k}$, которые являются Собственными Числами матрицы $\Sigma_{X}$
|
|
5) **Выбор максимума**:
|
|
Т.к. дисперсия первой компоненты $D(Z_{1})=\lambda_{1}$, то в качестве первой ГК выбирается решение, соответствующее наибольшему Собственному Числу.
|
|
|
|
## Построение Последующих Компонент
|
|
- Каждая следующая компонента $Z_{s}$ соответствует следующему по величене СЧ $\lambda_{s}$ из упорядоченного по убыванию ряда СЧ.
|
|
- Коэффициенты $U_{s}$ для каждой компоненты являются Собственными Векторами матрицы $\Sigma_{X}$, соответствующими найденным числам $\lambda_{s}$
|
|
- Суммарная дисперсия всех ГК совпадает с суммарной дисперсией исх. признаков. |