Dmitry
44 lines
3.8 KiB
Markdown
44 lines
3.8 KiB
Markdown
---
|
|
status: processing
|
|
type: concept
|
|
tags:
|
|
- math
|
|
- mephi
|
|
- statistics
|
|
- time-series
|
|
- autocorrelation
|
|
created: 2026-02-13
|
|
updated: 2026-05-07
|
|
title: Автокорреляционная (ACF) И Частная Автокорреляционная (PACF) Функции
|
|
---
|
|
|
|
# Автокорреляционная (ACF) И Частная Автокорреляционная (PACF) Функции
|
|
|
|
Пусть $x_{t}$ - стационарный ВР.
|
|
Степень тесноты статистических связей между случайными величинами $x_{t}$ и $x_{t-k}$, отстающими друг от друга на лаг $k$, может быть измерена **парным коэффициентом корреляции**:
|
|
$$\rho_{k}=\rho(k)=Corr(x_{t},x_{t-k})=\frac{Cov(x_{t},x_{t-k})}{\sqrt{D(x_{t})D(x_{t-k})}} = \frac{\phi(k)}{\phi(o)}$$
|
|
т.к. для *стационарного* ряда: $D(x_{t})=D(x_{t-k})=\phi(o)$
|
|
|
|
**<u>Временной лаг $k$</u>** - величина сдвига между наблюдениями, используемый при расчете коэффициента $\rho_{k}$
|
|
|
|
**Величина $k$** определяет **порядок коэффициента автокорреляции**.
|
|
|
|
При анализе автокорреляции $\rho_{k}$ в зависимости от $k$ её называют **автокорреляционной функцией** (АКФ), т.к. речь идет об изучении корреляции уровней ряда друг с другом, то коэффициенты называются ***автокорреляцией***.
|
|
|
|
Оценкой коэффициента автокорреляции порядка $k$ является выборочный коэффициент автокорреляции порядка $k$:
|
|
$$r_{k}=r(k) = r(x_{t},x_{t-k})=\frac{\overline{x_{t}x_{t-k}}-\overline{x_{t}}*\overline{x_{t-k}}}{\sqrt{D_{в}(x_{t})D_{в}(x_{t-k})}}$$
|
|
Зависимость $r_{k}$ от $k (k = 1, \alpha,...)$ называют **выборочной** АКФ, а график этой зависимости - ***коррелограммой***.
|
|
|
|
Если при расчете показателей корреляции уровней ВР в зависимости от лага $k$ использовать частные коэффициенты корреляции, характеризующие "*очищенную*" взаимосвязь, то получим **ЧАКФ $\rho_{k}^{ч}$**
|
|
|
|
С помощью Частной Автокорреляционной Функции (ЧАКФ) измеряется корреляция между уровнями ряда $x_{t}$ и $x_{t-k}$, разделенными $k$ временными моментами, при исключении влияния на эту взаимосвязь всех промежуточных уровней ряда $x_{t-1},x_{t-2},\dots,x_{t-k+1}$, при этом, очевидно, что $\rho_{1}^{ч}=\rho_{1}$
|
|
|
|
ЧАКФ - зависимость частных коэффициентов автокорреляции от лага.
|
|
ЧАКФ показывает автокорреляцию между $x_{t}$ и $x_{t-k}$, очищенную от влияния значений между ними.
|
|
|
|
## Связанные заметки
|
|
- [[Автокорреляционная функция (АКФ)]] — расширенное изложение АКФ
|
|
- [[Частная автокорреляционная функция]] — расширенное изложение ЧАКФ
|
|
- [[Определение порядков АР и СС]] — практическое применение АКФ/ЧАКФ для выбора p и q
|
|
- [[Стационарность - ВР]] — АКФ/ЧАКФ определены для стационарных рядов
|