Dmitry
122 lines
9.8 KiB
Markdown
122 lines
9.8 KiB
Markdown
---
|
||
status: seed
|
||
type: concept
|
||
tags:
|
||
- math
|
||
- mephi
|
||
- statistics
|
||
- time-series
|
||
created: 2026-01-21
|
||
updated: 2026-05-07
|
||
title: Тесты На Единичный Корень
|
||
---
|
||
|
||
# Тесты На Единичный Корень
|
||
## Модели Единичного Корня
|
||
Нестационарный случайный процесс $x_{t}$ называется **интегрированным порядка $d \geq 1$** ($I(d)$), если
|
||
- ряд $x_{t}$ нестационарен (или стационарен относительно детерминированного тренда)
|
||
- разности порядка $d: \Delta^{d}x_{t}$ стационарны
|
||
- разности меньших порядков нестационарны
|
||
|
||
**Смысл**: $x_{t}$ является $I(d)$, если операция вычисления разностей порядка $d$ приводит нестац. случ. проц. $x_{t}$ к стац. ряду.
|
||
Впервые при данном значении порядка разностей $d$.
|
||
|
||
## Процессы Единичного Корня
|
||
Процессы $I(d)$ называют процессом единичного корня, потому что:
|
||
- характеристическое уравнение модели содержит корень "$1$"
|
||
- наличие ед. корня => стохастический тренд
|
||
|
||
## Модель $AR(1)$ С Трендом
|
||
Р/м модель $x_{t}=\alpha_{0}+\beta t +\alpha_{1}x_{t-1}+\epsilon_{t}$
|
||
1) Если $\alpha_{0} \neq 0,\ \beta=0$^
|
||
- $|\alpha_{1}|<1$ => стац. ряд, тренда нет
|
||
- $a_{1}=1$ => DS-ряд
|
||
1) $\beta \neq 0,\ \alpha_{0} \neq 0$:
|
||
- $|\alpha_{1}|<1$ => $TS$
|
||
- $\alpha_{1}=1$ => $DS$
|
||
|
||
| TS | DS |
|
||
| ------------------------------------ | ---------------------------------------------- |
|
||
| Тренд детерминирован | Тренд стохастичен |
|
||
| Убирается детерминированием | Убирается дифференцированием |
|
||
| После вычитания тренда - стационарен | После вычитание тренда - все ещё нестационарен |
|
||
| Нет единичного корня | есть единичный корень |
|
||
Неверный способ удаления тренда приводит к проблемам:
|
||
1) Детерминированный DS-ряд
|
||
- искажение спектра
|
||
- лишняя переодичность
|
||
1) Разностирование $TS$-ряда
|
||
- передифференцирование
|
||
- сложности в оценивании модели
|
||
|
||
Таким образом TS и DS ряды визуально трудно различимы, поэтому обязательно применяются тесты на единичный корень, от которого зависит корректный выбор.
|
||
|
||
## Тест Д-Ф Без Константы
|
||
**<u>Тест Дики-Фуллера</u>** - это методика, которая используется в прикладной статистике и эконометрике для анализа ВР для проверки на стационарность
|
||
|
||
Модель без константы: $x_{t}=\alpha x_{t-1} + \epsilon_{t}$
|
||
$H_{0}: \alpha = 1$ - ряд нестационарный, содержит единичный корень, описывается процессом случайного блуждания.
|
||
$H_{1}: |\alpha|<1$ - ряд стационарен, не содержит единичный корень, описывается стационарным авторегрессионным процессом 1-го порядка.
|
||
|
||
$$x_{t}-x_{t-1}=\alpha_{0}+\alpha_{1}*x_{t-1}-x_{t-1}+\phi t+\epsilon_{t} \implies $$$$\implies \Delta x_{t}=\alpha_{0}+(\alpha_{1}-1)*x_{t-1}+ \phi t + \epsilon_{t}$$
|
||
Обозначим $(\alpha-1) =b$: $$\Delta x_{t}=b*x_{t-1}+\epsilon_{t}$$
|
||
Новые гипотезы:
|
||
$H_{0}: \alpha=1 \to b=0$: Если ряд содержит единичный корень, то коэффициент $b$ незначим
|
||
$H_{1}: |\alpha| <1 \to b < 0$: Если ряд стационарен, то $b$ значимый и отрицательный
|
||
|
||
**Идея теста**: оценить уравнение обычным МНК и проверить значимость коэффициента $b$ при помощи $t$-статистики: $\hat{t}=\hat{b}/SE(\hat{b})$, где $SE(b)$ - стандартная ошибка.
|
||
В данном случае, $t$-статистика имеет распределение Дики-Фуллера.
|
||
Если рассчитанное значение статистики оказалось левее критического, то нулевая гипотеза отклоняется -> ряд стационарен.
|
||
|
||
## Тест Д-Ф С Константой
|
||
Модель с константой: $x_{t}=\alpha_{0}+\alpha_{1}*x_{t-1}+\epsilon_{t}$
|
||
|
||
$H_{0}: \alpha_{1}=1$ - ряд НС., содержит единичный корень, описывается стац. авторегрессионным процессом случ. блуждания с дрейфом.
|
||
$H_{1}: |\alpha_{1}|<1$ - ряд С., не содержит единичный корень, описывается стац. авторегрессионным процессом 1-го порядка.
|
||
$$x_{t}-x_{t-1}=\alpha_{0}+\alpha_{1}*x_{t-1}-x_{t-1}+\epsilon_{t} \implies \Delta x_{t}=\alpha_{0}+(\alpha_{1}-1)*x_{t-1}+ \epsilon_{t}$$
|
||
Обозначим $(\alpha-1) =b$: $$\Delta x_{t}=\alpha_{0}+b*x_{t-1}+\epsilon_{t}$$
|
||
## Тест Д-Ф С Константой И Трендом
|
||
Модель: $x_{t}=\alpha_{0}+\alpha_{1}*x_{t-1}+\phi t + \epsilon_{t}$
|
||
$H_{0}: \alpha_{1}=1$ - ряд НС., содержит единичный корень, описывается стац. авторегрессионным процессом случ. блуждания с дрейфом.
|
||
$H_{1}: |\alpha_{1}|<1$ - ряд С., не содержит единичный корень, описывается стац. авторегрессионным процессом 1-го порядка.
|
||
|
||
При $|\alpha_{1}|<1$ и $\phi \neq 0$ -> $x_{t}$ стац. относительно линейного тренда $(TS)$
|
||
В этом случае, ряд $z_{t}=x_{t}-\phi t$ стационарен.
|
||
|
||
$$x_{t}-x_{t-1}=\alpha_{0}+\alpha_{1}*x_{t-1}-x_{t-1}+\phi t+\epsilon_{t} \implies $$$$\implies \Delta x_{t}=\alpha_{0}+(\alpha_{1}-1)*x_{t-1}+ \phi t + \epsilon_{t}$$
|
||
Обозначим $(\alpha-1) =b$: $$\Delta x_{t}=\alpha_{0}+b*x_{t-1}+\phi t+\epsilon_{t}$$
|
||
## Расширенный Тест Д-Ф
|
||
Обобщение критерия Д-Ф для учета авторегрессии $p$-порядка составляет суть расширенного критерия Д-Ф ($ADF$-тест)
|
||
|
||
Общий случай без константы: $x_{t}=\alpha_{1}x_{t-1}+\dots+\alpha_{p}x_{t-p}+\epsilon_{t}$
|
||
$H_{0}$: ряд является НС, содержит единичный корень
|
||
$H_{1}$: ряд является стационарным процессом $AR(p)$
|
||
|
||
$$x_{t}-x_{t-1}=(\alpha_{1}x_{t-1}+\dots+\alpha_{p}x_{t-p}+\epsilon_{t})-x_{t-1} \implies$$
|
||
$$\implies \Delta x_{t}=(\alpha_{1}-1) x_{t-1}+\alpha_{2}x_{t-2}+\dots+\alpha_{p}x_{t-p}+\epsilon_{t}$$
|
||
**Оценка уравнения**:
|
||
$$\Delta x_{t}=b*x_{t-1}+c_{1}*\Delta x_{t-1}+\dots+c_{p-1}*\Delta x_{t-p+1}+\epsilon_{t}$$
|
||
$$(\Delta x_{t}= \gamma*x_{t-1}+\sum\limits_{t=1}^{p-1}\phi_{i} \Delta x_{t-1}+\epsilon_{t})$$
|
||
Расчетное значение статистики: $\hat{t} = \frac{\hat{b}}{SE(\hat{b})}$
|
||
*Модель с константой:*
|
||
$$x_{t}=\alpha_{0}+\alpha_{1}x_{t-1}+\dots+\alpha_{p}x_{t-p}+\epsilon_{t} \implies$$
|
||
$$\implies \Delta x_{t}=\alpha_{0}+bx_{t-1}+c_{1} \Delta x_{t-1}+\dots+c_{p-1} \Delta x_{t-p+1} +\epsilon_{t}$$
|
||
$$(\Delta x_{t}=\mu+\gamma x_{t-1}+\sum\limits_{t=1}^{p-1}\phi_{i} \Delta x_{t-1}+\epsilon_{t})$$
|
||
*Модель с константной с трендом:*
|
||
$$x_{t}=\alpha_{0}\alpha_{1} x_{t-1} + \dots + \alpha_{p} x_{t-p}+\phi t + \epsilon_{t} \implies$$
|
||
$$\implies \Delta x_{t}=\alpha_{0}+b x_{t-1}+c_{1} \Delta x_{t-1} + \dots + c_{p-1} \Delta x_{t-p+1}+ \phi t + \epsilon_{t}$$
|
||
$$(\Delta x_{t}=\mu+\beta t + \gamma x_{t-1} + \sum\limits_{t=1}^{p-1}\phi_{i} \Delta x_{t-1} +\epsilon_{t})$$
|
||
|
||
В данном случае, $t$-статистика имеет распределение Дики-Фуллера.
|
||
Если рассчитанное значение статистики оказалось левее критического, то нулевая гипотеза отклоняется -> ряд стационарен.
|
||
|
||
Критическое значение расширенного критерия Д-Ф. совпадают с критическим значением обычного критерия Д-Ф., роль дополнительной авторегрессионной компоненты сводится к тому, чтобы исключить автокорреляцию остатков, при которой тест не работает.
|
||
|
||
Ограничения:
|
||
1) Не включать лишние регрессоры (мощность снижается)
|
||
2) Чувствительность к выбору числа лагов
|
||
3) Не применять при негомоскедастичности остатков
|
||
4) Ложное принятие при наличии структурных сдвигов
|
||
5) Некорректно использовать при наличии нескольких единичных корней
|
||
|