Dmitry
64 lines
3.1 KiB
Markdown
64 lines
3.1 KiB
Markdown
---
|
|
status: stable
|
|
type: concept
|
|
tags:
|
|
- math
|
|
- mephi
|
|
- statistics
|
|
- factor-analysis
|
|
- linear-models
|
|
created: 2026-01-20
|
|
updated: 2026-05-07
|
|
title: Требования К Факторам. Линейная Модель Факторного Анализа
|
|
---
|
|
|
|
# Требования К Факторам. Линейная Модель Факторного Анализа
|
|
## Требования К Факторам
|
|
Общие и характерные факторы центрировано-нормированные:
|
|
$$\begin{align} M(f_{r}) = 0 \\ M(v_{i})=0 \\ \\ D(f_{r})=1 \\ D(v_{i})=1\end{align}$$ Естественные требования:
|
|
$M(v_{i}*v_{s})=\rho(v_{i},v_{s})=0,\ \ \ \forall i,s=\overline{1...k}\ \ \ i \neq k$
|
|
$M(f_{r}*v_{i})=\rho(f_{r},v_{i})=0\ \ \ r=\overline{1 \dots m}\ \ \ i=\overline{1 \dots k}$
|
|
|
|
## Линейная Модель
|
|
$$x_{ij}=\sum\limits_{r=1}^{m}a_{jr}f_{ir}+d_{j}u_{ij}$$
|
|
Где:
|
|
- $x_{ij}$ - **значение** $j$-го признака для $i$-го объекта. ($i=1,\dots,N;\ j=1,\dots,k$)
|
|
- $a_{ir}$ - **факторная нагрузка** $j$-го признака по $r$-ому **общему** фактору. Показывает степень влияния фактора на признак.
|
|
- $f_{ir}$ - **индивидуальное значение (score)** $r$-го общего фактора для $i$-го объекта. Насколько сильно данный фактор проявлен у конкретного объекта.
|
|
- $u_{ij}$ - значение **характерного** фактора для $i$-го объекта по $j$-му признаку.
|
|
- $d_{j}$ - **нагрузка** характерного фактора.
|
|
|
|
## Матричная Форма
|
|
$$A_{k*m} = \begin{pmatrix}
|
|
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m} \\
|
|
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2m} \\
|
|
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
|
a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{km}
|
|
\end{pmatrix}$$
|
|
- матрица факторных нагрузок (весовых коэффициентов при общих факторах)
|
|
$$D_{k*k} = \begin{pmatrix}
|
|
d_{1} & 0 & \dots & 0 \\
|
|
0 & d_{2} & \dots & 0 \\
|
|
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
|
0 & 0 & \dots & d_{k}
|
|
\end{pmatrix}$$
|
|
- матрица характерностей (матрица весовых коэффициентов при характерных факторах)
|
|
$$M_{k*(m+k)} = (A:D)$$
|
|
- матрица весовых коэффициентов при факторах
|
|
$$f_{(m+k) * n}^{*}= \begin{pmatrix} f \\ v \end{pmatrix}$$
|
|
- вектор общих и характерных факторов
|
|
|
|
$$x = Af + Dv = Mf^{*}$$
|
|
- модель ФА в матричной форме
|
|
$$f_{m*n} = \begin{pmatrix}
|
|
f_{11} & \dots & f_{1n} \\
|
|
\vdots & \ddots & \vdots \\
|
|
f_{m1} & \dots & f_{mn}
|
|
\end{pmatrix}$$
|
|
- матрица индивидуальных значений общих факторов
|
|
$$v_{k*n} = \begin{pmatrix}
|
|
v_{11} & \dots & v_{1n} \\
|
|
\vdots & \ddots & \vdots \\
|
|
v_{m1} & \dots & v_{kn}
|
|
\end{pmatrix}$$
|
|
- матрица индивидуальных значений характерных факторов |