Dmitry
34 lines
2.3 KiB
Markdown
34 lines
2.3 KiB
Markdown
---
|
||
status: stable
|
||
type: concept
|
||
tags:
|
||
- mephi
|
||
- math
|
||
- statistics
|
||
- factor-analysis
|
||
created: 2026-01-20
|
||
updated: 2026-05-07
|
||
title: Основные Числовые Характеристики Главных Компонент
|
||
---
|
||
|
||
# Основные Числовые Характеристики Главных Компонент
|
||
1) **<u>Математическое ожидание</u>**
|
||
Если исх. признаки $X_{j}$ центрированы (т.е. $E[X_{j}]=0$), то математическое ожидание каждой ГК также равно нулю:
|
||
$$E[Z_{s}]=0$$
|
||
2) **<u>Дисперсия</u>**
|
||
Дисперсия каждой ГК равна соотв. СЧ $\lambda_{s}$ ковариационной (корреляционной) матрицы исх. признаков:
|
||
$$D(Z_{s})=\lambda_{s}$$
|
||
3) **<u>Ковариация</u>**
|
||
ГК являются некоррелированными между собой (взаимно ортогональны).
|
||
Ковариация между любыми компонентами равна нулю:
|
||
$$cov(Z_{s},Z_{l})=0,\ s \neq l$$
|
||
4) **<u>Суммарная дисперсия</u>**
|
||
Сумма дисперсий всех главных компонент равна сумме дисперсий исх. признаков (следу ковар. матрицы)
|
||
$$\sum\limits_{s=1}^{k}D(Z_{s})=\sum\limits_{j=1}^{k}D(X_{j})=\sum\limits_{s=1}^{k}\lambda_{s}$$
|
||
5) **<u>Показатель информативности</u>**
|
||
Для оценки того, какую часть информации описывает конкретная компонента (или набор из $m$ первых компонент), используется:
|
||
- Удельный вес дисперсии: $\large d_{s}=\frac{\lambda_{s}}{\Sigma \lambda_{s}}$
|
||
- Кумулятивная доля дисперсии: $\large D_{m}=\frac{\sum_{s=1}^{m} \lambda_{s}}{\sum_{j=1}^{k}\lambda_{j}}$
|
||
1) **<u>Корреляция с исх. признаками (факторные нагрузки)</u>**
|
||
Коэфф. корреляции между исх. признаком $X_{i}$ и ГК $Z_{j}$ рассчитываются через элементы СВ $u_{ij}$ и СЧ:
|
||
$$r(X_{i},Z_{j})=\frac{u_{ij}\sqrt{\lambda_{j}}}{\sigma_{i}}$$ |