SecondBrain/90 Library/Math/Статистика/Факторный анализ/Алгоритм оценки главных компонент.md

status, type, tags, created, updated, title

status	type	tags	created	updated	title
seed	concept	math mephi statistics factor-analysis	2026-01-20	2026-05-07	Алгоритм Оценки Главных Компонент

Алгоритм Оценки Главных Компонент

1. Подготовка исходных данных
   • Центрирование: x_{ij}^{*}=x_{ij}-\overline{x_{j}}
   • Нормирование: x_{ij}^{*}=\frac{x_{ij}-\overline{x_{j}}}{\sigma_{j}}
2. Вычисление выборочной матрицы Расчет выборочной ковариационной матрицы \hat{\Sigma}, которая описывает структуру связей между признаками.
3. Проверка значимости корреляционной матрицы (Критерий Бартлетта) Перед поиском компонент необходимо убедиться, что признаки вообще коррелированы между собой.
   • Гипотеза $H_{0}$: Матрица единична (R=E), т.е. признаки не коррелированы.
   • Статистика критерия: \chi^{2}=-[n-1-\frac{2k+5}{6}]\ln|\hat{R}|
   • Если расчетное значение больше критического, то проведение МГК считается целесообразным.
4. Расчет СЧ и СВ
5. Определение количества ГК Из k возможных компонент отбирают m наиболее информативных.
   • Критерий Кайзера: \lambda_{s} > 1
   • Доля дисперсии: Суммарная дисперсия должна составлять 70-80\%
   • Каменистая Осыпь: Визуальный анализ графика СЧ.
6. Оценка матрицы факторных нагрузок A = U^{T}\lambda^{\frac{1}{2}}
7. Расчет индивидуальных значений \hat{Z}=X\hat{U}
8. Интерпретация результатов На основе наиболее весомых нагрузок в матрице A каждой ГК присваивается содержательное название.