---
status: seed
type: concept
tags:
- math
- mephi
- statistics
- factor-analysis
created: 2026-01-20
updated: 2026-05-07
title: Алгоритм Оценки Главных Компонент
---
# Алгоритм Оценки Главных Компонент
1) **Подготовка исходных данных**
- **Центрирование**:
$$x_{ij}^{*}=x_{ij}-\overline{x_{j}}$$
- **Нормирование**:
$$x_{ij}^{*}=\frac{x_{ij}-\overline{x_{j}}}{\sigma_{j}}$$
1) **Вычисление выборочной матрицы**
Расчет выборочной ковариационной матрицы $\hat{\Sigma}$, которая описывает структуру связей между признаками.
2) **Проверка значимости корреляционной матрицы (Критерий Бартлетта)**
Перед поиском компонент необходимо убедиться, что признаки вообще коррелированы между собой.
- **Гипотеза $H_{0}$**: Матрица единична $(R=E)$, т.е. признаки не коррелированы.
- **Статистика критерия**: $\chi^{2}=-[n-1-\frac{2k+5}{6}]\ln|\hat{R}|$
- Если расчетное значение больше критического, то проведение МГК считается целесообразным.
1) **Расчет СЧ и СВ**
2) **Определение количества ГК**
Из $k$ возможных компонент отбирают $m$ наиболее информативных.
- **Критерий Кайзера**: $\lambda_{s} > 1$
- **Доля дисперсии**: Суммарная дисперсия должна составлять $70-80\%$
- **Каменистая Осыпь**: Визуальный анализ графика СЧ.
1) **Оценка матрицы факторных нагрузок**
$$A = U^{T}\lambda^{\frac{1}{2}}$$
2) **Расчет индивидуальных значений**
$$\hat{Z}=X\hat{U}$$
3) **Интерпретация результатов**
На основе наиболее весомых нагрузок в матрице $A$ каждой ГК присваивается содержательное название.