Dmitry
83 lines
3.4 KiB
Markdown
83 lines
3.4 KiB
Markdown
---
|
|
status: seed
|
|
type: concept
|
|
tags:
|
|
- math
|
|
- mephi
|
|
- decision-making
|
|
created: 2026-05-29
|
|
updated: 2026-05-29
|
|
title: Метод анализа иерархий
|
|
source: "[[МИАД_Л4_иерархии.pdf]]"
|
|
---
|
|
|
|
# Метод анализа иерархий
|
|
|
|
Метод анализа иерархий (МАИ) используется для выбора лучшей альтернативы при нескольких критериях, в том числе разнородных и качественных.
|
|
|
|
## Идея
|
|
|
|
Задача выбора раскладывается на иерархию:
|
|
- цель;
|
|
- критерии и подцели;
|
|
- альтернативы.
|
|
|
|
Затем элементы каждого уровня попарно сравниваются по влиянию на элемент верхнего уровня.
|
|
|
|
## Шкала Саати
|
|
|
|
Попарные сравнения обычно задаются 9-балльной шкалой:
|
|
- `1` — нет преимущества;
|
|
- `3` — слабое преимущество;
|
|
- `5` — существенное преимущество;
|
|
- `7` — явное преимущество;
|
|
- `9` — абсолютное преимущество;
|
|
- `2`, `4`, `6`, `8` — промежуточные оценки;
|
|
- обратные значения — преимущество в обратную сторону.
|
|
|
|
Матрица сравнений обратно-симметрична:
|
|
|
|
$$a_{ij} = \frac{1}{a_{ji}}$$
|
|
|
|
## Этапы
|
|
|
|
1. Описать проблему и цель.
|
|
2. Построить иерархию критериев и альтернатив.
|
|
3. Построить матрицы попарных сравнений.
|
|
4. Вычислить локальные приоритеты.
|
|
5. Проверить согласованность матриц.
|
|
6. Повторить сравнения для всех уровней.
|
|
7. Синтезировать глобальные приоритеты альтернатив.
|
|
8. Оценить согласованность всей иерархии.
|
|
|
|
## Локальные приоритеты
|
|
|
|
Для матрицы попарных сравнений веса можно приближённо вычислить как среднее геометрическое строк:
|
|
|
|
$$w_j = \sqrt[n]{\prod_{l=1}^{n} a_{jl}}$$
|
|
|
|
После этого веса нормируются, чтобы получить вектор приоритетов.
|
|
|
|
## Согласованность
|
|
|
|
Полностью согласованная матрица обладает транзитивностью:
|
|
|
|
$$a_{ij} = a_{ik}a_{kj}$$
|
|
|
|
На практике экспертные суждения обычно не полностью согласованы, поэтому считают индекс согласованности:
|
|
|
|
$$CI = \frac{\lambda_{max} - n}{n - 1}$$
|
|
|
|
И отношение согласованности:
|
|
|
|
$$CR = \frac{CI}{RI}$$
|
|
|
|
Обычно приемлемым считают $CR \le 10\%$.
|
|
|
|
## Результат
|
|
|
|
Итог МАИ — глобальные приоритеты альтернатив. Чем выше приоритет, тем предпочтительнее альтернатива в рамках построенной иерархической модели.
|
|
|
|
## Связанные заметки
|
|
- [[Функция принадлежности]]
|