Dmitry
43 lines
3.2 KiB
Markdown
43 lines
3.2 KiB
Markdown
---
|
|
status: seed
|
|
type: concept
|
|
tags:
|
|
- math
|
|
created: 2025-12-17
|
|
updated: 2026-02-27
|
|
title: Логические операции над нечеткими множествами
|
|
---
|
|
|
|
# Логические операции над нечеткими множествами
|
|
|
|
## Терминология
|
|
|
|
Пусть $A$ и $B$ - нечеткие множества универсума $U$.
|
|
Нечеткое множество $A$ называется *<u>пустым</u>*, если $\mu_{A}(u) = 0,\ \forall u \in U$
|
|
|
|
*<u>Носителем</u>* нечеткого множества $A$ называется подмножество таких точек $U$, для которых величина функции принадлежности положительна: $$S(A)=Sup\ \mu(A) = \{u|u \in U, \mu_{A}(u)>0\}$$
|
|
*<u>Высотой</u>* множества $A$ называется максимальное значение х.ф.: $$h(A)=sup\ \mu_{A}(u)$$
|
|
Множество $A$ называется *<u>нормальным</u>*, если его высота равна 1.
|
|
В противном случае оно называется *субнормальным*. Любое субнормальное множество можно сделать нормальным.
|
|
|
|
Элементы множества $U$, для которых $\mu_{A}(u)=0.5$, являются *точками перехода* нечеткого множества $A$.
|
|
|
|
## Дизъюнкция
|
|
Дизъюнкцией (объединением) нечетких множеств называют наименьшее подмножество $A \cup B$, включающее как $A$, так и $B$, с функцией принадлежности вида: $$\mu_{A\cup B}(u) = \max(\mu_{A}(u)\mu_{B}(u)),\ u \in U$$![[Pasted image 20260227193130.png|400]]
|
|
|
|
## Конъюнкция
|
|
Конъюнкцией (пересечением) нечетких множеств называют наибольшее подмножество $A \cap B$, содержащееся одновременно и в $A$, и в $B$, с функцией принадлежности вида: $$\mu_{A \cap B}(u) = \min(\mu_{A}(u),\mu_{B}(u)),\ u \in U$$
|
|
![[Pasted image 20260227194025.png|400]]
|
|
|
|
## Дополнение
|
|
Дополнением (отрицанием) нечеткого множества $A$ называют нечеткое множество $\overline{A}$ с функцией принадлежности: $$\mu_{\overline{A}}(u) = 1 - \mu_{A}(u),\ u \in U$$
|
|
![[Pasted image 20260227194309.png|400]]
|
|
|
|
## Разность
|
|
Разностью двух множеств называется множество $A - B = A \cap \overline{B}$ с функцией принадлежности: $$\mu_{A-B}(u)=\mu_{A \cap \overline{B}}(u) = \min(\mu_{A}(u),\mu_{\overline{B}}(u)) = \min(\mu_{A}(u), 1-\mu_{B}(u))$$
|
|
|
|
## Связанные заметки
|
|
- [[Линейные модели]] — линейная разделимость в ML (жёсткая граница) vs нечёткие операции (мягкая граница); оба решают задачу разделения классов
|
|
- [[Функция принадлежности]] — операции определены через μ
|
|
|