Dmitry
41 lines
2.9 KiB
Markdown
41 lines
2.9 KiB
Markdown
---
|
|
status: stable
|
|
type: concept
|
|
tags:
|
|
- mephi
|
|
created: 2025-12-25
|
|
updated: 2026-02-27
|
|
title: Расстояние Между Объектами
|
|
---
|
|
|
|
# Расстояние Между Объектами
|
|
## Теория
|
|
1) Евклидово расстояние (Расстояние Минковского при $p=2$) (Теорема Пифагора)
|
|
$$d_{E}(O_{i},O_{j})=\sqrt{\sum\limits_{l=1}^{k}(x_{il}-x_{jl})^{2}}$$
|
|
2) Взвешенное Евклидово расстояние $$d_{BE}(O_{i},O_{j})=\sqrt{\sum\limits_{l=1}^{k} \omega_{l} (x_{il}-x_{jl})^{2}},$$ $\text{где}\ \omega_{l} \in (0,1) - \text{весовой коэффициент}$
|
|
3) Расстояние Минковского (общий случай для Евклидового и Хеммингово расстояние) $$d_{M}(O_{i},O_{j})=\sqrt[p]{\sum\limits_{l=1}^{k}|x_{il}-x_{jl}|^{p}}$$
|
|
4) Хеммингово (манхэттенское) расстояние (расстояние Минковского при $p=1$) $$d_{H}(O_{i},O_{j})={\sum\limits_{l=1}^{k}|x_{il}-x_{jl}|}$$
|
|
5) Расстояние Чебышева (расстояние Минковского при $p \to \infty$) $$d_{CH}(O_{i},O_{j})={\max_{1 \leq l \leq k}|x_{il}-x_{jl}|}$$
|
|
6) Обобщенное расстояние Махаланобиса $$d_{O}(O_{i},O_{j})=\sqrt{(O_{i}-O_{j})^{T}\Delta^{T}\Sigma^{-1}\Delta(O_{i}-O_{j})}$$
|
|
|
|
> $\Sigma$ - ковариационная матрица генеральной совокупности, из которой извлечена выборка.
|
|
>
|
|
> $\Delta$ - некоторая симметричная неотрицательно-определенная матрица весовых коэффициентов признаков.
|
|
|
|
7) Корреляционное расстояние
|
|
$$d_{corr}(O_{i},O_{j}) = 1 - r_{ij}$$
|
|
|
|
> $r_{ij}$ - выборочный коэффициент корреляции между объектами $O_{i}, O_{j}$, соответствующие которым строки матрицы $X$ трактуются как *выборки*.
|
|
|
|
## Примеры
|
|
Для точек: $O_{1}(3;2),\ O_{2}(-4;6)$
|
|
1) $d_{E}=\sqrt{(3 - (-4))^{2}+(2-6)^{2}}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}$
|
|
2) -
|
|
3) $p=3:\ d_{m}=\sqrt[3]{|3 - (-4)|^{3}+|2-6|^{3}} = \sqrt[3]{7^{3}+4^{3}}=\dots$
|
|
4) центр классов => среднее арифметическое собираем в одну точку
|
|
|
|
## Связанные заметки
|
|
- [[Метрические алгоритмы]] — те же формулы (Евклид, Манхэттен, Минковский, Махаланобис) реализованы в sklearn; ML-нота даёт практическое применение
|
|
- [[Итерационная классификация. Метод K-средних (K-means)]] — использует $\min_{1 \leq l \leq k} \rho_{il}$ для отнесения объекта к кластеру
|
|
|