Dmitry
33 lines
2.7 KiB
Markdown
33 lines
2.7 KiB
Markdown
---
|
|
status: stable
|
|
type: concept
|
|
tags:
|
|
- math
|
|
- mephi
|
|
- statistics
|
|
- factor-analysis
|
|
created: 2026-01-20
|
|
updated: 2026-05-07
|
|
title: Разложение Дисперсии В Факторном Анализе. Разложение Характерности В Факторном Анализе
|
|
---
|
|
|
|
# Разложение Дисперсии В Факторном Анализе. Разложение Характерности В Факторном Анализе
|
|
## Разложение Дисперсии Признака
|
|
В модели ФА каждый признак $X_{i}$ представляется как:
|
|
$$X_{i}=\sum\limits_{j=1}^{m}a_{ij}F_{j}+d_{i}U_{i}$$
|
|
Поскольку общие факторы $F_{j}$ и характерный фактор $U_{i}$ по предположению модели являются некоррелированными и имеют единичные дисперсии, общая дисперсия $D(X_{i})$ раскладывается на две основным части:$$1 = \sum\limits_{j=1}^{m}a_{ij}^{2}+d_{i}^{2}$$ или $$1 = h_{i}^{2}+d_{i}^{2}$$
|
|
Где:
|
|
- $h_{i}^{2}$ - **<u>общность</u>**: сумма квадратов факторных нагрузок признака по всем общим факторам. Она показывает долю дисперсии $i$-го признака, которая объясняется влиянием общих для всей совокупности факторов.
|
|
- $d_{i}^{2}$ - **<u>характерность</u>**: доля дисперсии признака, которая не может быть объяснена через общие факторы. Она отражает индивидуальность конкретной переменной.
|
|
|
|
## Разложение Характерности
|
|
Сама по себе характерность не является однородной. $$d_{i}^{2}=s_{i}^{2}+e_{i}^{2}$$
|
|
Где:
|
|
- $s_{i}^{2}$ - специфичность.
|
|
Это часть дисперсии, которая обусловлена особенностями, присущими именно данному признаку.
|
|
- $e_{i}^{2}$ - ошибка
|
|
Случайная составляющая дисперсии, связанная с погрешностями измерения, неточностью сбора стат. данных.
|
|
|
|
> [!tip] Замечание
|
|
> Сумма общности и специфичности $(h_{i}^{2} + s_{i}^{2})$ называется **надежностью** признака. Чем выше надежность, тем меньше в данных случайного шума.
|