Dmitry
40 lines
3.2 KiB
Markdown
40 lines
3.2 KiB
Markdown
---
|
||
status: seed
|
||
type: concept
|
||
tags:
|
||
- math
|
||
- statistics
|
||
- factor-analysis
|
||
created: 2026-01-20
|
||
updated: 2026-05-07
|
||
title: Матрица Нагрузок И Её Свойства
|
||
---
|
||
|
||
# Матрица Нагрузок И Её Свойства
|
||
|
||
## Определение
|
||
Матрица нагрузок $A$ - это матрица, эл-тами которой являются коэффициенты корреляции между исходными признаками $X_{i}$ и ГК $Z_{j}$
|
||
|
||
Элемент матрицы $a_{ij}$ показывается тесноту линейной связи $i$-го признака с $j$-ой компонентой.
|
||
В случае использования центрированно-нормированных признаков, расчет ведется по формуле: $a_{ij}=u_{ij}\sqrt{\lambda_{j}}$, где $u_{ij}$ - $i$-ая координата $j$-го СВ, а $\lambda_j$ - $j$-ое СЧ ковариационной матрицы.
|
||
|
||
## Свойства Матрицы Нагрузок
|
||
- **<u>Свойство строк (Общность)</u>**:
|
||
Сумма квадратов нагрузок в $i$-ой строке по всем $k$ компонентам равна дисперсии соответствующего исходного признака. Для нормированных признаков эта сумма равна 1:
|
||
$$\sum\limits_{j=1}^{k}a_{ij}^{2}=D(X_{i})=1$$
|
||
- **<u>Свойство столбцов (Вклад компоненты)</u>**:
|
||
Сумма квадратов нагрузок в $j$-ом столбце равна СЧ $\lambda_{j}$, которое является дисперсией $j$-й ГК:
|
||
$$\sum\limits_{i=1}^{k}a_{ij}^{2}=\lambda_{i}=D(Z_{i})$$
|
||
- **<u>Ортогональность</u>**:
|
||
Сумма произведений нагрузок любых двух различных столбцов равна нулю, что подтверждает некоррелированность ГК:
|
||
$$\sum\limits_{i=1}^{k}a_{ij}a_{il}=0,\ i \neq l$$
|
||
- **<u>Воспроизведение корреляций</u>**:
|
||
Сумма произведений нагрузок $i$-го и $l$-го признаков по всем компонентам равна коэффициенту корреляции между этими признаками ([[Фундаментальная теорема факторного анализа]]):
|
||
$$\sum\limits_{j=1}^{k}a_{ij}a_{li}=r(X_{i}mX_{l})$$
|
||
## Интерпретация
|
||
- **<u>Вес нагрузки</u>**:
|
||
Чем выше абсолютное значение $|a_{ij}|$, тем сильнее данный признак определяет содержание компоненты.
|
||
- **<u>Знак нагрузки</u>**:
|
||
Указывает направления связи (прямая или обратная)
|
||
- **<u>Цель вращения</u>**:
|
||
Если нагрузки распределены "размазано" (много средних значений), то применяется вращение, чтобы получить **простую структуру**, где нагрузки близки к 1 или 0. |