SecondBrain/01 Library/03 Math/Статистика/Факторный анализ/Матрица нагрузок и её свойства.md

status, type, tags, created, updated, title

status	type	tags	created	updated	title
seed	concept	math statistics factor-analysis	2026-01-20	2026-05-07	Матрица Нагрузок И Её Свойства

Матрица Нагрузок И Её Свойства

Определение

Матрица нагрузок A - это матрица, эл-тами которой являются коэффициенты корреляции между исходными признаками X_{i} и ГК Z_{j}

Элемент матрицы a_{ij} показывается тесноту линейной связи $i$-го признака с $j$-ой компонентой. В случае использования центрированно-нормированных признаков, расчет ведется по формуле: a_{ij}=u_{ij}\sqrt{\lambda_{j}}, где u_{ij} - $i$-ая координата $j$-го СВ, а \lambda_j - $j$-ое СЧ ковариационной матрицы.

Свойства Матрицы Нагрузок

• Свойство строк (Общность): Сумма квадратов нагрузок в $i$-ой строке по всем k компонентам равна дисперсии соответствующего исходного признака. Для нормированных признаков эта сумма равна 1: \sum\limits_{j=1}^{k}a_{ij}^{2}=D(X_{i})=1
• Свойство столбцов (Вклад компоненты): Сумма квадратов нагрузок в $j$-ом столбце равна СЧ \lambda_{j}, которое является дисперсией $j$-й ГК: \sum\limits_{i=1}^{k}a_{ij}^{2}=\lambda_{i}=D(Z_{i})
• Ортогональность: Сумма произведений нагрузок любых двух различных столбцов равна нулю, что подтверждает некоррелированность ГК: \sum\limits_{i=1}^{k}a_{ij}a_{il}=0,\ i \neq l
• Воспроизведение корреляций: Сумма произведений нагрузок $i$-го и $l$-го признаков по всем компонентам равна коэффициенту корреляции между этими признаками (Фундаментальная теорема факторного анализа): \sum\limits_{j=1}^{k}a_{ij}a_{li}=r(X_{i}mX_{l})

Интерпретация

• Вес нагрузки: Чем выше абсолютное значение |a_{ij}|, тем сильнее данный признак определяет содержание компоненты.
• Знак нагрузки: Указывает направления связи (прямая или обратная)
• Цель вращения: Если нагрузки распределены "размазано" (много средних значений), то применяется вращение, чтобы получить простую структуру, где нагрузки близки к 1 или 0.