SecondBrain/01 Library/03 Math/Статистика/Временные ряды/Модели скользящего среднего.md

status, type, tags, created, updated, title

status	type	tags	created	updated	title
seed	concept	mephi math statistics time-series	2026-01-18	2026-05-07	Модели Скользящего Среднего

Модели Скользящего Среднего

Теорема Вольда: x_{t}-\mu = \Sigma_{T=0}^{\infty}\ \psi_{T}\ \epsilon_{t-T}, где \psi_{T} - весовые коэффициенты, \epsilon_{t-T} - белый шум.

• \Sigma_{T=0}^{\infty}\ \psi_{T} < \infty
• Т.к. реализации белого шума ненаблюдаемы, то весовые коэффициенты определены с точностью до множителя, поэтому \psi_{0}=0

Процесс скользящего среднего порядка q - стохастический процесс, в разложении Вольда которого присутствует только q слагаемых, где q - число параметров Скользящего Среднего.

1. MA(1):x_{t}=[\psi_{0}=1]*\epsilon_{t}+\beta_{1}\epsilon_{t-1} Характеристики: \begin{matrix} M=0 && \gamma_{1}=\beta_{1}\sigma^{2} \\ \gamma_{0}=(1+\beta_{1}^{2})\sigma^{2} && \gamma_{2}=\gamma_{3} = \dots = 0 \end{matrix} \ \ \gamma_{0}\ и\ \gamma_{1} \neq 0 \rho_{1}=\frac{\beta_{1}}{1+\beta_{1}^{2}};\ \rho_{2}=\rho_{3}=\dots=0 - значение автокорреляционной функции.
2. MA(2):x_{t}=\epsilon_{t}+\beta_{1}\epsilon_{t-1}+\beta_{2}\epsilon_{t-2}