SecondBrain/01 Library/03 Math/Статистика/Временные ряды/Авторегрессия AR.md

status, type, tags, created, updated, title

status	type	tags	created	updated	title
seed	concept	mephi math statistics time-series	2026-01-21	2026-05-07	Авторегрессия AR

Авторегрессия AR

Авторегрессия Первого Порядка

AR(I) - процесс авторегрессии 1-го порядка (зависимость текущего значения ВР от предыдущего) x_{t}=\mu+a_{i}x_{t-1}+\epsilon_{t},\quad |a|<1\ (\epsilon - \text{процесс белого шума}) |a|<1 - Необходимое условие стационарности AR(I)

Докажем, что M=\frac{\mu}{1-a_{1}}; \quad \gamma_{0}=\frac{\sigma^{2}}{1-a_{1}^{2}}; \quad \gamma_{k}=a_{1}^{k}\frac{\sigma^{2}}{1-a_{1}^{2}} Из того, что \rho_{k}=a_{1}^{2} следует, что АКФ для AR(I) экпоненциально (монотонно) убывает с ростом k - при a_{1}>0, либо осциллирующе затухает (экспоненциально затухающие синусоидальные волны) при a_{1}<0

По определению АКФ(1) = ЧАКФ(1)

Для k>1 ЧАКФ процесса AR(I) равна 0.

[!note] Характеристическое свойство AR(I) Только первое значение ВЧАКФ для AR(I) выходит за пределы доверительной трубки

Авторегрессия Второго Порядка

AR(II) - процесс авторегресии 2-го порядка. x_{t}=a_{1}*x_{t-1}+a_{2}*x_{t-2}+\epsilon_{t}

Условие стационарности: |\lambda_{1}|<1,\ |\lambda_{\alpha}|<1 При выполнении условия стационарности АКФ процесса AR(II) убывает экспоненциально, когда корни действительны. Не затухает с осцилляцией (изменяется по синусоиде с экспоненциально убывающей амплитудой), если корни комплексные.

ЧАКФ процесса AR(II) равна 0, если k>2.

[!note] Характеристическое свойство AR(II)$ Только первые два значения ВЧАКФ для AR(II) выходят за пределы доверительной области

Авторегрессия Порядка p

x_{t} = \mu + a_{1}x_{t-1}+\dots+a_{p}x_{t-p}+\epsilon_{t}

с использованием Лаговый оператор:

x_{t}=\mu+a_{1}Lx_{t}+\dots+a_{p}L^{p}x_{t}+\epsilon_{t} (1-a_{1}L-\dots-a_{p}L^{p})x_{t}=\mu+\epsilon_{t}

Характ. уравнение 1: 1-a_{1}z-\dots-a_{p}z^{p}=0 Характ. уравнение 2: \lambda^{p}-a_{1}\lambda^{p-1}-\dots-a_{p}\lambda^{0}=0

Условие Стационарности

1. все корни Х.У. 1 по модулю > 1 (|z_{j}|>1)
2. все корни Х.У. 2 по модулю < 1 (|\lambda_{j}|<1)

АКФ при отсутствии кратных корней соотв. Х.У. будет экспоненциально затухать; если корни вещественные, то просто затухает; если комплексные, то затухание с осцилляцией.

ЧАКФ теоретическое = 0 для всех значений k>p. Для ВЧАКФ только первые p компонент выходят за Д.И.