---
status: seed
type: concept
tags:
  - mephi
  - math
  - statistics
  - time-series
created: 2026-01-21
updated: 2026-05-07
title: Авторегрессия AR
---

# Авторегрессия AR
## Авторегрессия Первого Порядка
$AR(I)$ - процесс авторегрессии 1-го порядка (зависимость текущего значения ВР от предыдущего)
$x_{t}=\mu+a_{i}x_{t-1}+\epsilon_{t},\quad |a|<1\ (\epsilon - \text{процесс белого шума})$
$|a|<1$ - Необходимое условие стационарности $AR(I)$

Докажем, что $M=\frac{\mu}{1-a_{1}}$; $\quad \gamma_{0}=\frac{\sigma^{2}}{1-a_{1}^{2}}$; $\quad \gamma_{k}=a_{1}^{k}\frac{\sigma^{2}}{1-a_{1}^{2}}$
Из того, что $\rho_{k}=a_{1}^{2}$ следует, что АКФ для $AR(I)$ экпоненциально (монотонно) убывает с ростом $k$ - при $a_{1}>0$, либо осциллирующе затухает (экспоненциально затухающие синусоидальные волны) при $a_{1}<0$

По определению АКФ(1) = ЧАКФ(1)

Для $k>1$ ЧАКФ процесса $AR(I)$ равна 0.

> [!note] Характеристическое свойство $AR(I)$
> Только первое значение ВЧАКФ для $AR(I)$ выходит за пределы доверительной трубки

## Авторегрессия Второго Порядка
$AR(II)$ - процесс авторегресии 2-го порядка.
$x_{t}=a_{1}*x_{t-1}+a_{2}*x_{t-2}+\epsilon_{t}$

Условие стационарности: $|\lambda_{1}|<1,\ |\lambda_{\alpha}|<1$
При выполнении условия стационарности АКФ процесса $AR(II)$ убывает экспоненциально, **когда корни действительны.**
Не затухает с осцилляцией (изменяется по синусоиде с экспоненциально убывающей амплитудой), **если корни комплексные.**

ЧАКФ процесса $AR(II)$ равна 0, если $k>2$.

> [!note] Характеристическое свойство $AR(II)$$
> Только первые два значения ВЧАКФ  для $AR(II)$ выходят за пределы доверительной области

## Авторегрессия Порядка $p$
$$x_{t} = \mu + a_{1}x_{t-1}+\dots+a_{p}x_{t-p}+\epsilon_{t}$$
с использованием [[Лаговый оператор|лагового оператора]]:
$$x_{t}=\mu+a_{1}Lx_{t}+\dots+a_{p}L^{p}x_{t}+\epsilon_{t}$$
$$(1-a_{1}L-\dots-a_{p}L^{p})x_{t}=\mu+\epsilon_{t}$$
Характ. уравнение 1: $1-a_{1}z-\dots-a_{p}z^{p}=0$
Характ. уравнение 2: $\lambda^{p}-a_{1}\lambda^{p-1}-\dots-a_{p}\lambda^{0}=0$

### Условие Стационарности
1) все корни Х.У. 1 по модулю $> 1$ $(|z_{j}|>1)$
2) все корни Х.У. 2 по модулю $< 1$ $(|\lambda_{j}|<1)$

АКФ при **отсутствии кратных корней** соотв. Х.У. будет экспоненциально затухать;
**если корни вещественные**, то просто затухает;
**если комплексные**, то затухание с осцилляцией.

ЧАКФ теоретическое $= 0$ для всех значений $k>p$.
Для ВЧАКФ только первые $p$ компонент выходят за Д.И.