Dmitry
69 lines
6.2 KiB
Markdown
69 lines
6.2 KiB
Markdown
---
|
|
status: stable
|
|
type: concept
|
|
tags:
|
|
- math
|
|
- ml
|
|
- mephi
|
|
- statistics
|
|
- time-series
|
|
created: 2026-02-13
|
|
updated: 2026-05-07
|
|
aliases:
|
|
- Модели АРПСС. Методология Бокса-Дженкинса
|
|
---
|
|
# Модели АРПСС. Методология Бокса-Дженкинса
|
|
## Модели АРПСС (ARIMA)
|
|
|
|
Модели Бокса-Дженкинса относятся к классу одномерных моделей, где текущее значение ряда зависит только от его собственной предыстории.
|
|
|
|
**Процесс АРПСС (**$p, d, q$**)** — это **интегрированный процесс авторегрессии со скользящим средним в остатках**.
|
|
|
|
- Если ряд является интегрированным $d$-го порядка, и его $d$-я разность описывается процессом ARMA($p, q$), то исходный процесс — ARIMA($p, d, q$).
|
|
|
|
### Базовые Компоненты Модели
|
|
|
|
1. **Авторегрессия (**$AR(p)$**):** Текущее значение ряда зависит от его **прошлых** $p$ **значений** ($x_{t-1}, \dots, x_{t-p}$).
|
|
- **Условие стационарности AR:** Все корни характеристического уравнения должны лежать **вне** единичного круга по модулю ($|z_j|>1$).
|
|
2. **Скользящее среднее (**$MA(q)$**):** Текущее значение ряда зависит от **текущего и прошлых** $q$ **случайных ошибок** ($\epsilon_t, \dots, \epsilon_{t-q}$).
|
|
- **Условие стационарности MA:** Процесс $MA(q)$ стационарен при любых значениях параметров $\beta_i$.
|
|
3. **Белый шум (**$\epsilon_t$**):** Случайный шум, который является остатками, не имеющими автокорреляции ($\rho_k = 0$ при $k \neq 0$) и имеющими постоянную дисперсию ($\sigma^2_{\epsilon} > 0$).
|
|
|
|
## III. Методология Бокса-Дженкинса (4 этапа)
|
|
|
|
Методология представляет собой процедуру подбора оптимальной модели $ARIMA(p, d, q)$.
|
|
|
|
### 1. Этап 1: Идентификация Модели (Определение $d, P, q$)
|
|
|
|
Цель — определить структуру модели.
|
|
|
|
- **Шаг 1. Определение** $d$ **(Порядка интегрированности):**
|
|
- Сначала проверяется стационарность ряда (визуально или с помощью тестов, таких как **расширенный критерий Дики-Фуллера (ADF)** или **KPSS-тест**).
|
|
- Если ряд нестационарен, берутся разности ($\Delta x_t$), и процесс повторяется до получения стационарного ряда. $d$ — это количество взятых разностей.
|
|
- **Шаг 2. Определение порядков** $p$ **и** $q$**:**
|
|
- Анализируются графики **автокорреляционной функции (АКФ)** и **частной автокорреляционной функции (ЧАКФ)** для стационарных разностей ряда.
|
|
- Порядок **АР (**$p$**):** определяется по **обрыву** ЧАКФ (PACF). Обрыв — когда коэффициент незначимо отличается от нуля ($<\pm 1.96/\sqrt{T}$).
|
|
- Порядок **СС (**$q$**):** определяется по **обрыву** АКФ (ACF).
|
|
- Для смешанных моделей (АРСС) АКФ и ЧАКФ затухают (бесконечно убывающие).
|
|
|
|
### 2. Этап 2: Оценивание Модели
|
|
|
|
- Параметры выбранных моделей-кандидатов оцениваются (обычно с использованием точного или условного **метода максимального правдоподобия (ММП)**).
|
|
|
|
### 3. Этап 3: Проверка Адекватности Модели (Диагностика)
|
|
|
|
Проверка того, что остатки модели соответствуют белому шуму. Если модель неадекватна, возвращаются к Этапу 1 или 2.
|
|
|
|
- **Критерии проверки:**
|
|
1. **Значимость коэффициентов**.
|
|
2. **Анализ остатков:** Остатки должны быть нормально распределены, некоррелированы (проверяется с помощью АКФ/ЧАКФ остатков или **Q-статистик Бокса-Пирса/Бокса-Льюнга**) и иметь постоянную дисперсию (проверяется **тестом на ARCH-эффект**).
|
|
- **Выбор лучшей модели:** Если несколько моделей адекватны, выбирается та, которой соответствует **минимальное значение информационных критериев**:
|
|
- Критерий Акаике (AIC).
|
|
- Критерий Шварца (BIC).
|
|
- Критерий Хеннана-Куинна (HQ).
|
|
|
|
### 4. Этап 4: Прогнозирование
|
|
|
|
- Лучшая модель используется для прогнозирования будущих значений ($x_{T+h}$).
|
|
- Наилучшим является прогноз, который минимизирует среднеквадратическую ошибку прогноза, что достигается использованием **условного математического ожидания** $E(x_{T+h} | x_T, x_{T-1}, \dots)$.
|
|
- На практике также могут быть построены доверительные интервалы для прогноза, и может быть сформирован **обобщенный прогноз** (портфель моделей). |