Dmitry
62 lines
2.8 KiB
Markdown
62 lines
2.8 KiB
Markdown
---
|
|
status: seed
|
|
type: concept
|
|
tags:
|
|
- math
|
|
- mephi
|
|
- fuzzy-sets
|
|
created: 2026-05-29
|
|
updated: 2026-05-29
|
|
source: '[[МИАД_Л2.pdf]]'
|
|
aliases:
|
|
- Нечеткие отношения
|
|
---
|
|
# Нечеткие отношения
|
|
|
|
Нечеткое отношение $R$ на универсальном множестве $U = U_1 \times U_2$ — это нечеткое подмножество декартова произведения с функцией принадлежности:
|
|
|
|
$$\mu_R(x, y): U_1 \times U_2 \to [0, 1]$$
|
|
|
|
Значение $\mu_R(x, y)$ трактуется как субъективная мера выполнения отношения $xRy$.
|
|
|
|
## Отличие от четкого отношения
|
|
|
|
Четкое бинарное отношение отвечает на вопрос «связаны элементы или нет». Нечеткое отношение показывает силу связи: например, вес дуги во взвешенном графе.
|
|
|
|
Примеры:
|
|
- «$x$ и $y$ близкие числа»;
|
|
- «$x$ намного больше $y$»;
|
|
- качественные связи между объектами системы, где простое да/нет теряет информацию.
|
|
|
|
## Способы задания
|
|
|
|
Для конечных универсумов отношение удобно задавать матрицей: строки соответствуют элементам $U_1$, столбцы — элементам $U_2$, значения ячеек — степеням принадлежности.
|
|
|
|
Для счетных или конечных множеств отношение также можно интерпретировать как взвешенный граф.
|
|
|
|
## Операции
|
|
|
|
На нечеткие отношения переносятся операции для [[Логические операции над нечеткими множествами|нечетких множеств]]:
|
|
- носитель: пары, для которых $\mu_R(x, y) > 0$;
|
|
- объединение;
|
|
- пересечение;
|
|
- отрицание;
|
|
- отношение уровня $\alpha$: пары, для которых $\mu_R(x, y) \ge \alpha$.
|
|
|
|
## Композиции отношений
|
|
|
|
Основные композиции:
|
|
|
|
$$\mu_{AB}(x, z) = \max_y \min(\mu_A(x, y), \mu_B(y, z))$$
|
|
|
|
$$\mu_{A \circ B}(x, z) = \min_y \max(\mu_A(x, y), \mu_B(y, z))$$
|
|
|
|
$$\mu_{A * B}(x, z) = \sup_y \mu_A(x, y)\mu_B(y, z)$$
|
|
|
|
Максиминная композиция особенно важна для [[Нечеткий вывод|нечеткого вывода]].
|
|
|
|
## Связанные заметки
|
|
- [[Теория нечетких множеств]]
|
|
- [[Функция принадлежности]]
|
|
- [[Нечеткий вывод]]
|