vault backup: 2026-05-24 15:03:28
This commit is contained in:
Dmitry
@@ -0,0 +1,35 @@
|
||||
---
|
||||
status: seed
|
||||
type: concept
|
||||
tags:
|
||||
- math
|
||||
- fuzzy-sets
|
||||
created: 2025-12-17
|
||||
updated: 2026-05-07
|
||||
title: Доказательство законов Де Моргана
|
||||
---
|
||||
|
||||
# Доказательство законов Де Моргана
|
||||
|
||||
|
||||
## $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
|
||||
|
||||
$$1 - \mu_{A \cup B}(u)=1 - \max (\mu_{A}(u);\ \mu_{B}(u))$$
|
||||
$$\overline{A} \cap \overline{B} = \min(1-\mu_{A}(u);\ 1-\mu_{B}(u))$$
|
||||
Предположим, что $\mu_{B}(u) > \mu_{A}(u)$, тогда $1-\mu_{B}(u)=1-\mu_{B}(u)$
|
||||
|
||||
## $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
|
||||
|
||||
$$1-\mu_{A \cap B}=1 -min(\mu_{A}(u);\ \mu_{B}(u))$$
|
||||
$$\overline{A} \cup \overline{B} = max(1 - \mu_{A}(u);\ 1-\mu_{B}(u))$$
|
||||
Пусть $\mu_{B}(u)>\mu_{A}(u)$, тогда $1-\mu_{A}(u)=1-\mu_{A}(u)$
|
||||
|
||||
## $\overline{A * B} = \overline{A} + \overline{B}$
|
||||
|
||||
$$(\mu_{\overline{A}}(u) + \mu_{\overline{B}}(u) - \mu_{\overline{A}}(u)\mu_{\overline{B}}(u)) = $$
|
||||
$$= 1-\mu_{A}(u) + 1 - \mu_{B}(u) - 1 + \mu_{A}(u) + \mu_{B}(u)-\mu_{A}(u)\mu_{B}(u)=$$
|
||||
$$= 1 - \mu_{A}(u) \mu_{B}(u)$$
|
||||
## $\overline{A + B} = \overline{A} * \overline{B}$
|
||||
|
||||
$$(1-\mu_{A}(u))*(1-\mu_{B}(u)) = 1-\mu_{A}(u)-\mu_{B}(u)+\mu_{A}(u)\mu_{B}(u) = $$
|
||||
$$1 - (\mu_{A}(u)+\mu_{B}(u)-\mu_{A}(u)\mu_{B}(u))$$
|
||||
@@ -0,0 +1,15 @@
|
||||
---
|
||||
status: seed
|
||||
type: concept
|
||||
tags:
|
||||
- math
|
||||
- mephi
|
||||
- fuzzy-sets
|
||||
created: 2025-12-17
|
||||
updated: 2026-05-07
|
||||
title: Коэффициенты функций принадлежности
|
||||
---
|
||||
|
||||
# Коэффициенты функций принадлежности
|
||||
|
||||
![[Pasted image 20260306092019.png]]
|
||||
+43
@@ -0,0 +1,43 @@
|
||||
---
|
||||
status: seed
|
||||
type: concept
|
||||
tags:
|
||||
- math
|
||||
- fuzzy-sets
|
||||
created: 2025-12-17
|
||||
updated: 2026-05-07
|
||||
title: Логические операции над нечеткими множествами
|
||||
---
|
||||
|
||||
# Логические операции над нечеткими множествами
|
||||
|
||||
## Терминология
|
||||
|
||||
Пусть $A$ и $B$ - нечеткие множества универсума $U$.
|
||||
Нечеткое множество $A$ называется *<u>пустым</u>*, если $\mu_{A}(u) = 0,\ \forall u \in U$
|
||||
|
||||
*<u>Носителем</u>* нечеткого множества $A$ называется подмножество таких точек $U$, для которых величина функции принадлежности положительна: $$S(A)=Sup\ \mu(A) = \{u|u \in U, \mu_{A}(u)>0\}$$
|
||||
*<u>Высотой</u>* множества $A$ называется максимальное значение х.ф.: $$h(A)=sup\ \mu_{A}(u)$$
|
||||
Множество $A$ называется *<u>нормальным</u>*, если его высота равна 1.
|
||||
В противном случае оно называется *субнормальным*. Любое субнормальное множество можно сделать нормальным.
|
||||
|
||||
Элементы множества $U$, для которых $\mu_{A}(u)=0.5$, являются *точками перехода* нечеткого множества $A$.
|
||||
|
||||
## Дизъюнкция
|
||||
Дизъюнкцией (объединением) нечетких множеств называют наименьшее подмножество $A \cup B$, включающее как $A$, так и $B$, с функцией принадлежности вида: $$\mu_{A\cup B}(u) = \max(\mu_{A}(u)\mu_{B}(u)),\ u \in U$$![[Pasted image 20260227193130.png|400]]
|
||||
|
||||
## Конъюнкция
|
||||
Конъюнкцией (пересечением) нечетких множеств называют наибольшее подмножество $A \cap B$, содержащееся одновременно и в $A$, и в $B$, с функцией принадлежности вида: $$\mu_{A \cap B}(u) = \min(\mu_{A}(u),\mu_{B}(u)),\ u \in U$$
|
||||
![[Pasted image 20260227194025.png|400]]
|
||||
|
||||
## Дополнение
|
||||
Дополнением (отрицанием) нечеткого множества $A$ называют нечеткое множество $\overline{A}$ с функцией принадлежности: $$\mu_{\overline{A}}(u) = 1 - \mu_{A}(u),\ u \in U$$
|
||||
![[Pasted image 20260227194309.png|400]]
|
||||
|
||||
## Разность
|
||||
Разностью двух множеств называется множество $A - B = A \cap \overline{B}$ с функцией принадлежности: $$\mu_{A-B}(u)=\mu_{A \cap \overline{B}}(u) = \min(\mu_{A}(u),\mu_{\overline{B}}(u)) = \min(\mu_{A}(u), 1-\mu_{B}(u))$$
|
||||
|
||||
## Связанные заметки
|
||||
- [[Линейные модели]] — линейная разделимость в ML (жёсткая граница) vs нечёткие операции (мягкая граница); оба решают задачу разделения классов
|
||||
- [[Функция принадлежности]] — операции определены через μ
|
||||
|
||||
@@ -0,0 +1,30 @@
|
||||
---
|
||||
status: seed
|
||||
type: concept
|
||||
tags:
|
||||
- math
|
||||
- fuzzy-sets
|
||||
created: 2026-02-17
|
||||
updated: 2026-05-07
|
||||
title: Определение Нечеткого Множества
|
||||
---
|
||||
|
||||
# Определение Нечеткого Множества
|
||||
Пусть $U$ - универсальное множество (универсум), из эл-тов которого состоят все остальные множества, рассматриваемые в данном классе задач.
|
||||
Один из способов - характеристическая функция.
|
||||
|
||||
<u>Характеристическая функция</u> - это функция $\mu_{A}$ значения которой показывают, принадлежит ли элемент $x$ множеству.
|
||||
|
||||
В четкой логике: $$\mu_{A}(x)=\begin{cases} 1,\ если\ x\in A \\ 0,\ иначе\end{cases}$$
|
||||
В нечеткой эта логика принимает значение из диапазона.
|
||||
Устанавливается "степень принадлежности" элемента данному множеству.
|
||||
|
||||
<u>Нечеткое множество $A$ на универсуме ($U$)</u> - это совокупность пар вида $u,\mu_{A}(u)$, где $\mu_{A}(u)$ - [[Функция принадлежности|функция принадлежности]] нечеткого множества $A:U \to [0,1]$.
|
||||
|
||||
Примеры:
|
||||
1) $U = (a,b,c,d,e,f)$, то $A = (\frac{0}{a},\frac{1}{b}, \frac{0.5}{c}, \dots)$
|
||||
2) $U=\{a,b,c,d,e\};\ A=\{\{a,0\}, \{b,0.1\},\{c,0.5\},\{d,0.9\},\{e,1\}\};$
|
||||
3) $U = R;\ \mu_{A}(x)=(1+|x-10|^{m})^{-1}$
|
||||
|
||||
## Связанные заметки
|
||||
- [[Теория нечетких множеств]]
|
||||
@@ -0,0 +1,25 @@
|
||||
---
|
||||
status: stable
|
||||
type: moc
|
||||
tags:
|
||||
- math
|
||||
- mephi
|
||||
- fuzzy-sets
|
||||
created: 2026-05-02
|
||||
updated: 2026-05-07
|
||||
title: Теория Нечетких Множеств
|
||||
---
|
||||
|
||||
# Теория Нечетких Множеств
|
||||
|
||||
%% Begin Waypoint %%
|
||||
- [[Доказательство законов Де Моргана]]
|
||||
- [[Коэффициенты функций принадлежности]]
|
||||
- [[Логические операции над нечеткими множествами]]
|
||||
- [[Определение нечеткого множества]]
|
||||
- [[Функция принадлежности]]
|
||||
|
||||
%% End Waypoint %%
|
||||
|
||||
## Контекст
|
||||
- [[Кластерный анализ]] — нечёткая кластеризация (fuzzy c-means) использует функцию принадлежности
|
||||
@@ -0,0 +1,45 @@
|
||||
---
|
||||
status: stable
|
||||
type: concept
|
||||
tags:
|
||||
- math
|
||||
- mephi
|
||||
- fuzzy-sets
|
||||
created: 2026-02-17
|
||||
updated: 2026-05-07
|
||||
title: Функция принадлежности
|
||||
---
|
||||
|
||||
# Функция принадлежности
|
||||
<u>В нечёткой логике функция принадлежности</u> $\mu_{A}$ — это функция, значения которой лежат в непрерывном диапазоне, как правило, от 0 до 1.
|
||||
|
||||
Методы построения функций принадлежности делятся на прямые и косвенные.
|
||||
- **Прямые** - эксперт самостоятельно задает функцию. (исп. для измеримых понятий - рост, время, скорость и т.д.)
|
||||
- **Косвенные** - характеристики выделяются исходя из попарных сравнений объектов.
|
||||
|
||||
## Типовые формы кривых
|
||||
|
||||
### Треугольная (trimf)
|
||||
|
||||
![[Pasted image 20260227164620.png]]
|
||||
|
||||
### Трапецевидная (trapmf)
|
||||
![[Pasted image 20260227164640.png]]
|
||||
|
||||
### Гауссовская (gaussmf, gauss2mf)
|
||||
![[Pasted image 20260227164704.png]]
|
||||
|
||||
### Колокол
|
||||
![[Pasted image 20260227164716.png]]
|
||||
### Сигмоидальные
|
||||
![[Pasted image 20260227164729.png]]
|
||||
|
||||
### Z - функция
|
||||
![[Pasted image 20260227164751.png]]
|
||||
### S - функция
|
||||
![[Pasted image 20260227164805.png]]
|
||||
|
||||
## Связанные заметки
|
||||
- [[Метрические алгоритмы]] — $\hat{P}_c(x)$ в kNN возвращает значение в [0,1], аналогично μ_A; оба представляют "мягкую" принадлежность классу
|
||||
- [[Линейные модели]] — сигмоидальная функция принадлежности = та же сигмоида в логистической регрессии
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user