vault backup: 2026-05-07 22:58:05

.obsidian/workspace.json

@@ -13,13 +13,13 @@
             "state": {
               "type": "markdown",
               "state": {
-                "file": "01 Library/11 Machine Learning/Обратное распространение ошибки - вывод.md",
+                "file": "01 Library/11 Machine Learning/Обратное распространение ошибки.md",
                 "mode": "preview",
                 "source": false,
                 "backlinks": false
               },
               "icon": "lucide-file",
-              "title": "Обратное распространение ошибки - вывод"
+              "title": "Обратное распространение ошибки"
             }
           },
           {
@@ -180,13 +180,13 @@
             "state": {
               "type": "outline",
               "state": {
-                "file": "01 Library/11 Machine Learning/Обратное распространение ошибки - вывод.md",
+                "file": "01 Library/11 Machine Learning/Обратное распространение ошибки.md",
                 "followCursor": false,
                 "showSearch": false,
                 "searchQuery": ""
               },
               "icon": "lucide-list",
-              "title": "Outline of Обратное распространение ошибки - вывод"
+              "title": "Outline of Обратное распространение ошибки"
             }
           },
           {
@@ -257,6 +257,9 @@
   },
   "active": "cb9f1037ae0492db",
   "lastOpenFiles": [
+    "01 Library/11 Machine Learning/Backpropagation для сети с одним скрытым слоем.md",
+    "01 Library/11 Machine Learning/Backpropagation для многослойной нейронной сети.md",
+    "01 Library/11 Machine Learning/Обратное распространение ошибки - вывод.md",
     "01 Library/11 Machine Learning/Алгоритм обучения сети Кохонена.md",
     "01 Library/11 Machine Learning/Нейронная сеть Кохонена.md",
     "99 System/Archive/Алгоритм обучения сети Кохонена.md",
@@ -272,7 +275,6 @@
     "01 Library/02 DevOps/Основные команды git.md",
     "01 Library/11 Machine Learning/Метрические алгоритмы.md",
     "01 Library/11 Machine Learning/Обратное распространение ошибки для произвольного числа слоев НС.md",
-    "01 Library/11 Machine Learning/Обратное распространение ошибки - вывод.md",
     "00 Inbox/Алгоритм обратного распространения ошибки для произвольного числа слоев НС.md",
     "99 System/Archive/Алгоритм обратного распространения ошибки для произвольного числа слоев НС.md",
     "00 Inbox/Hello.md",
@@ -284,8 +286,6 @@
     "02 Projects/Наука/Статьи/Статья с Виноградовой.md",
     "CLAUDE.md",
     "01 Library/07 HomeLab/Проблемы дистрибутивов.md",
-    "01 Library/02 DevOps/Контейнеризация/Docker/Docker - Дополнительные знания.md",
-    "01 Library/02 DevOps/Контейнеризация/Docker/Основы - Docker.md",
     "00 Inbox/Archive",
     "01 Library/03 Math/Теория нечетких множеств/Теория нечетких множеств.md.tmp.254945.1777751883191",
     "01 Library/02 DevOps/Ansible/Ansible - основы.md.tmp.254945.1777751876503",

01 Library/11 Machine Learning/Backpropagation для многослойной нейронной сети.md

@@ -8,12 +8,12 @@ tags:
   - gradient-descent
 created: 2025-12-17
 updated: 2026-05-07
-title: Обратное распространение ошибки для произвольного числа слоев НС
+title: Backpropagation для многослойной нейронной сети
 ---
 
-# Обратное распространение ошибки для произвольного числа слоев НС
+# Backpropagation для многослойной нейронной сети
 
-Эта заметка обобщает [[Обратное распространение ошибки]] на [[Нейронные сети|нейронную сеть]] с произвольным числом слоёв. Подробный вывод для сети с одним скрытым слоем: [[Обратное распространение ошибки - вывод]].
+Эта заметка обобщает [[Обратное распространение ошибки]] на [[Нейронные сети|нейронную сеть]] с произвольным числом слоёв. Подробный вывод для сети с одним скрытым слоем: [[Backpropagation для сети с одним скрытым слоем]].
 
 ## Обозначения
 
@@ -179,6 +179,6 @@ $$
 ## Связанные заметки
 
 - [[Обратное распространение ошибки]]
-- [[Обратное распространение ошибки - вывод]]
+- [[Backpropagation для сети с одним скрытым слоем]]
 - [[Нейронные сети]]
 - [[Линейные модели]]

01 Library/11 Machine Learning/Backpropagation для сети с одним скрытым слоем.md

@@ -7,38 +7,38 @@ tags:
   - backpropagation
 created: 2025-12-17
 updated: 2026-05-07
-title: Обратное распространение ошибки - вывод
+title: Backpropagation для сети с одним скрытым слоем
 ---
 
-# Обратное распространение ошибки - вывод
+# Backpropagation для сети с одним скрытым слоем
 
-Эта заметка фиксирует математический вывод градиентов для алгоритма [[Обратное распространение ошибки]]. Общий контекст нейронных сетей находится в [[Нейронные сети]].
+Эта заметка фиксирует математический вывод градиентов для алгоритма [[Обратное распространение ошибки]] на примере сети с одним скрытым слоем. Общая схема для произвольного числа слоёв вынесена в [[Backpropagation для многослойной нейронной сети]].
 
-Рассматривается сеть с одним скрытым слоем. Bias для краткости не записан: его градиент считается так же, как градиент веса при входе, равном $1$.
+Bias для краткости не записан: его градиент считается так же, как градиент веса при входе, равном $1$.
 
 ## Обозначения
 
 > [!note] Обозначения
-> $x_{j}$ — $j$-й вход  
+> $x_j$ - $j$-й вход  
-> $w_{ij}^{(1)}$ — вес от входа $j$ к скрытому нейрону $i$  
+> $w_{ij}^{(1)}$ - вес от входа $j$ к скрытому нейрону $i$  
-> $w_{li}^{(2)}$ — вес от скрытого нейрона $i$ к выходу $l$  
+> $w_{li}^{(2)}$ - вес от скрытого нейрона $i$ к выходу $l$  
-> $S_{i}^{(1)}$ — взвешенная сумма на входе нейрона $i$ в первом слое  
+> $S_i^{(1)}$ - взвешенная сумма на входе нейрона $i$ в первом слое  
-> $u_{i}$ — выход нейрона $i$ первого слоя после активации  
+> $u_i$ - выход нейрона $i$ первого слоя после активации  
-> $S_{l}^{(2)}$ — взвешенная сумма на входе нейрона $l$ во втором слое  
+> $S_l^{(2)}$ - взвешенная сумма на входе нейрона $l$ во втором слое  
-> $y_{l}$ — выход нейрона $l$ второго слоя  
+> $y_l$ - выход нейрона $l$ второго слоя  
-> $d_{l}$ — истинное значение  
+> $d_l$ - истинное значение  
-> $F$ — функция активации  
+> $F$ - функция активации  
-> $\delta$ — локальная ошибка нейрона
+> $\delta$ - локальная ошибка нейрона
 
 ## Прямой проход
 
 $$
 \begin{align*}
-S_{i}^{(1)} &= \sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}^{(1)}x_{j} \\
+S_i^{(1)} &= \sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}^{(1)}x_j \\
-u_{i} &= F(S_{i}^{(1)}) \\
+u_i &= F(S_i^{(1)}) \\
 S_l^{(2)} &= \sum\limits_{i=1}^{k}w_{li}^{(2)}u_i \\
-y_{l} &= F(S_{l}^{(2)}) \\
+y_l &= F(S_l^{(2)}) \\
-E &= \frac{1}{2}\sum\limits_{l=1}^{m}(y_{l}-d_{l})^{2}
+E &= \frac{1}{2}\sum\limits_{l=1}^{m}(y_l-d_l)^2
 \end{align*}
 $$
 
@@ -47,14 +47,12 @@ $$
 Для веса $w_{li}^{(2)}$ используется правило цепочки:
 
 $$
-\begin{align*}
+\frac{\partial E}{\partial w_{li}^{(2)}} =
-\frac{\partial E}{\partial w_{li}^{(2)}} &=
+\frac{\partial E}{\partial y_l}
-\frac{\partial E}{\partial y_{l}}
 \cdot
-\frac{\partial y_{l}}{\partial S_{l}^{(2)}}
+\frac{\partial y_l}{\partial S_l^{(2)}}
 \cdot
-\frac{\partial S_{l}^{(2)}}{\partial w_{li}^{(2)}}
+\frac{\partial S_l^{(2)}}{\partial w_{li}^{(2)}}
-\end{align*}
 $$
 
 Компоненты производной:
@@ -74,7 +72,7 @@ $$
 Итог:
 
 $$
-\frac{\partial E}{\partial w_{li}^{(2)}}=(y_l-d_l)F'(S_l^{(2)})u_i
+\frac{\partial E}{\partial w_{li}^{(2)}}=(y_l-d_l)*F'(S_l^{(2)})*u_i
 $$
 
 Введём локальную ошибку выходного нейрона:
@@ -137,7 +135,7 @@ $$
 S_l^{(2)}=\sum\limits_{i=1}^{k}w_{li}^{(2)}u_i
 $$
 
-То:
+то:
 
 $$
 \frac{\partial y_l}{\partial u_i}
@@ -161,7 +159,7 @@ $$
 S_i^{(1)}=\sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}^{(1)}x_j
 $$
 
-То:
+то:
 
 $$
 \frac{\partial u_i}{\partial w_{ij}^{(1)}}
@@ -207,13 +205,9 @@ $$
 Тогда:
 
 $$
-\frac{\partial E}{\partial w_{ij}^{(1)}}
+\frac{\partial E}{\partial w_{ij}^{(1)}}=\delta_i^{(1)}x_j
-=
-\delta_i^{(1)}x_j
 $$
 
-Ошибка выходного слоя $\delta_l^{(2)}$ проходит назад через вес $w_{li}^{(2)}$, суммируется по всем выходным нейронам и умножается на крутизну активации скрытого слоя. Так получается локальная ошибка $\delta_i^{(1)}$ для каждого скрытого нейрона.
-
 ## Итоговые формулы
 
 Для слоя $r$ общий шаблон такой:
@@ -243,6 +237,6 @@ $$
 ## Связанные заметки
 
 - [[Обратное распространение ошибки]]
-- [[Обратное распространение ошибки для произвольного числа слоев НС]]
+- [[Backpropagation для многослойной нейронной сети]]
 - [[Нейронные сети]]
 - [[Линейные модели]]

01 Library/11 Machine Learning/Нейронные сети.md

@@ -187,7 +187,7 @@ $$
 
 Нейронные сети применяются для задач классификации, прогнозирования, распознавания образов и других задач приближения сложных функций.
 
-Для многослойных сетей основной алгоритм вычисления градиентов - [[Обратное распространение ошибки]]. Для сети с произвольным числом слоёв схема вынесена в [[Обратное распространение ошибки для произвольного числа слоев НС]].
+Для многослойных сетей основной алгоритм вычисления градиентов - [[Обратное распространение ошибки]]. Для сети с произвольным числом слоёв схема вынесена в [[Backpropagation для многослойной нейронной сети]].
 
 ## Персептрон
 
@@ -200,5 +200,5 @@ $$
 ## Связанные заметки
 
 - [[Обратное распространение ошибки]]
-- [[Обратное распространение ошибки для произвольного числа слоев НС]]
+- [[Backpropagation для многослойной нейронной сети]]
 - [[Линейные модели]]

01 Library/11 Machine Learning/Обратное распространение ошибки.md

@@ -13,11 +13,12 @@ title: Обратное распространение ошибки
 
 # Обратное распространение ошибки
 
-**Обратное распространение ошибки** (*backpropagation*) - алгоритм вычисления градиентов функции ошибки по весам многослойной [[Нейронные сети|нейронной сети]]. После вычисления градиентов веса обновляются методом градиентного спуска.
+**Обратное распространение ошибки** (*backpropagation*) - алгоритм вычисления градиентов функции ошибки по весам многослойной [[Нейронные сети|нейронной сети]]. Само обновление весов выполняет градиентный спуск или его модификации, а backpropagation отвечает за эффективный расчёт производных.
 
-Главная идея: сначала сеть делает прямой проход и получает предсказание, затем ошибка распространяется от выходного слоя назад к предыдущим слоям. Для каждого веса считается, насколько изменение этого веса повлияло на итоговую ошибку.
+Главная идея: сначала сеть выполняет прямой проход и получает предсказание, затем ошибка распространяется от выходного слоя назад к предыдущим слоям. Для каждого веса считается, как изменение этого веса повлияло бы на итоговую ошибку.
 
 ## Как выглядит
+
 ![[Pasted image 20260507214813.png]]
 
 ## Где используется
@@ -29,6 +30,7 @@ X^{(p)} \rightarrow Y^{(p)} \approx D^{(p)}
 $$
 
 где:
+
 - $X^{(p)}$ - входной объект;
 - $Y^{(p)}$ - выход сети;
 - $D^{(p)}$ - целевой ответ;
@@ -36,79 +38,39 @@ $$
 
 Алгоритм применим к многослойным сетям, если функции активации дифференцируемы или хотя бы имеют используемую на практике производную почти всюду.
 
-## Прямой проход
+## Базовый цикл
 
-Для сети с одним скрытым слоем:
+1. Подать входной вектор $X$ на вход сети.
+2. Выполнить прямой проход и получить выходы всех слоёв.
+3. Посчитать ошибку $E$ между предсказанием $Y$ и целевым ответом $D$.
+4. Посчитать локальную ошибку выходного слоя.
+5. Распространить ошибку назад и посчитать локальные ошибки скрытых слоёв.
+6. Найти градиенты по весам.
+7. Обновить веса в направлении антиградиента.
+8. Повторять до выполнения условия остановки: лимит эпох, малая ошибка, малая норма градиента или отсутствие улучшения.
 
-$$
+## Ключевые формулы
-S_i^{(1)}=\sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}^{(1)}x_j
-$$
 
-$$
+Для квадратичной ошибки:
-u_i=F(S_i^{(1)})
-$$
-
-$$
-S_l^{(2)}=\sum\limits_{i=1}^{k}w_{li}^{(2)}u_i
-$$
-
-$$
-y_l=F(S_l^{(2)})
-$$
-
-В развёрнутом виде:
-
-$$
-y_l=
-F\left(
-\sum\limits_{i=1}^{k}
-w_{li}^{(2)}
-F\left(
-\sum\limits_{j=1}^{n}
-w_{ij}^{(1)}x_j
-\right)
-\right),
-\quad l=\overline{1,m}
-$$
-
-## Функция ошибки
-
-Для одного обучающего примера часто используют квадратичную ошибку:
 
 $$
 E=\frac{1}{2}\sum\limits_{l=1}^{m}(y_l-d_l)^2
 $$
 
-Коэффициент $\frac{1}{2}$ нужен только для удобства производной: при дифференцировании квадрат даёт множитель $2$, который сокращается.
+Обновление веса через градиентный спуск:
-
-## Обновление весов
-
-Минимизация ошибки происходит через градиентный спуск:
 
 $$
 w_{ij}(t+1)=w_{ij}(t)-\alpha\frac{\partial E}{\partial w_{ij}(t)}
 $$
 
 где:
+
 - $w_{ij}$ - вес связи;
 - $t$ - номер шага обучения;
 - $\alpha$ - скорость обучения (*learning rate*);
 - $\frac{\partial E}{\partial w_{ij}}$ - производная ошибки по весу.
 
-Если производная положительная, увеличение веса увеличивает ошибку, поэтому вес уменьшается. Если производная отрицательная, вес увеличивается.
+## Локальная ошибка
-
-## Алгоритм
-
-1. Подать входной вектор $X$ на вход сети.
-2. Выполнить прямой проход и получить выходы всех слоёв.
-3. Посчитать ошибку $E$ между предсказанием $Y$ и целевым ответом $D$.
-4. Посчитать ошибку выходного слоя $\delta^{(2)}$.
-5. Распространить ошибку назад и посчитать ошибки скрытых слоёв $\delta^{(1)}$.
-6. Найти градиенты по весам.
-7. Обновить веса в направлении антиградиента.
-8. Повторять до выполнения условия остановки: лимит эпох, малая ошибка, малая норма градиента или отсутствие улучшения.
-
-## Локальная ошибка слоя
 
 Для выходного слоя:
 
@@ -126,16 +88,18 @@ F'(S_i^{(1)})
 \delta_l^{(2)}w_{li}^{(2)}
 $$
 
-То есть ошибка скрытого нейрона - это сумма ошибок следующего слоя, взвешенная связями с этим слоем, умноженная на производную активации скрытого нейрона.
+Смысл $\delta$: на выходном слое она показывает ошибку нейрона с учётом производной активации, а на скрытом слое собирает вклад ошибок следующего слоя, взвешенный связями.
+
+## Что вынесено отдельно
+
+- [[Backpropagation для сети с одним скрытым слоем]] - подробный математический вывод через правило цепочки.
+- [[Backpropagation для многослойной нейронной сети]] - общий алгоритм для произвольного числа слоёв.
 
 ## Интуиция
 
-Backpropagation - это не отдельный способ оптимизации, а эффективный способ вычислить градиенты. Оптимизацию делает градиентный спуск или его модификации: SGD, Momentum, Adam и т.д.
+Backpropagation - это не отдельный способ оптимизации, а способ быстро вычислить градиенты. Оптимизацию делает градиентный спуск или его модификации: SGD, Momentum, Adam и т.д.
 
-Смысл $\delta$:
+Градиент веса получается как локальная ошибка нейрона, в который входит вес, умноженная на вход этого веса. Поэтому после обратного прохода обновление всех весов становится локальной операцией.
-- на выходном слое $\delta$ показывает, насколько нейрон ошибся с учётом производной активации;
-- на скрытом слое прямого целевого ответа нет, поэтому ошибка собирается из всех нейронов следующего слоя;
-- градиент веса получается как локальная ошибка нейрона, в который входит вес, умноженная на вход этого веса.
 
 ## Иллюстрации
 
@@ -145,7 +109,7 @@ Backpropagation - это не отдельный способ оптимизац
 
 ## Связанные заметки
 
-- [[Обратное распространение ошибки - вывод]]
+- [[Backpropagation для сети с одним скрытым слоем]]
-- [[Обратное распространение ошибки для произвольного числа слоев НС]]
+- [[Backpropagation для многослойной нейронной сети]]
 - [[Нейронные сети]]
 - [[Линейные модели]]