SecondBrain/90 Library/Math/Статистика/Факторный анализ/Процедура построения первой и остальных главных компонент.md

status, type, tags, created, updated, aliases

status	type	tags	created	updated	aliases
stable	concept	mephi math statistics factor-analysis	2026-01-20	2026-05-07	Процедура Построения Первой И Остальных Главных Компонент

Процедура Построения Первой И Остальных Главных Компонент

Процедура Построения Первой ГК

Используется метод множителей Лагранжа:

1. Ф-я Лагранжа: \phi(U,\lambda)=U_{1}^{T}\Sigma_{X}U_{1}-\lambda(U_{1}^{T}U_{1}-1)\to\max.
2. Нахождение производных: Дифференцирование по U приводит к: (\Sigma_{X}-\lambda E)U_{1}=0
3. Составление характеристического уравнения: Чтобы система имела ненулевое решение, определитель матрицы должен быть равен нулю.
4. Поиск собственных чисел: Решение дает k вещественных неотрицательных корней \lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{k}, которые являются Собственными Числами матрицы \Sigma_{X}
5. Выбор максимума: Т.к. дисперсия первой компоненты D(Z_{1})=\lambda_{1}, то в качестве первой ГК выбирается решение, соответствующее наибольшему Собственному Числу.

Построение Последующих Компонент

• Каждая следующая компонента Z_{s} соответствует следующему по величене СЧ \lambda_{s} из упорядоченного по убыванию ряда СЧ.
• Коэффициенты U_{s} для каждой компоненты являются Собственными Векторами матрицы \Sigma_{X}, соответствующими найденным числам \lambda_{s}
• Суммарная дисперсия всех ГК совпадает с суммарной дисперсией исх. признаков.