SecondBrain/90 Library/Math/Статистика/Факторный анализ/Определение первой и последующих компонент.md

status, type, tags, created, updated, aliases

status	type	tags	created	updated	aliases
seed	concept	math mephi statistics factor-analysis	2026-01-20	2026-05-07	Определение И Процедура Построения Первой И Последующих Компонент

Определение И Процедура Построения Первой И Последующих Компонент

Определения Главных Компонент (ГК)

• Первая ГК $(Z_{1})$: Это такая линейная комбинация исходных признаков X=(X_{1},X_{2},\dots, X_{k})^{T}, которая среди всех прочих комбинаций обладает наибольшей дисперсией.
• $s$-ая ГК ($$Z_{s}): Это линейная комбинация исходных признаков, которая не коррелирована с (s-1) предыдущими главными компонентами и среди всех прочих лин. комбинаций обладает наибольшей дисперсией.

Оптимизационная Задача Для Построения 1 ГК

Математически построение первой ГК сводится к поиску вектора весовых коэффициентов U = (u_{11},u_{12},\dots,u_{1k})^{T}.

• Целевая функция: Максимизация дисперсии компоненты D(Z_{1})=U_{1}^{T}\Sigma_{X}U_{1} \to \max, \Sigma_{X} - ковариационная матрица исх. признаков.
• Ограничение: Вектор коэффициентов должен быть нормирован: U_{1}^{T}U_{1}=1