SecondBrain/90 Library/Machine Learning/Backpropagation для однослойного перцептрона.md

status, type, tags, created, updated, title

status	type	tags	created	updated	title
stable	concept	machine-learning neural-networks backpropagation	2025-12-17	2026-05-08	Backpropagation для однослойного перцептрона

Backpropagation для однослойного перцептрона

Эта заметка фиксирует математический вывод градиентов для алгоритма Обратное распространение ошибки на примере сети с одним скрытым слоем. Общая схема для произвольного числа слоёв вынесена в Backpropagation для многослойной нейронной сети.

Bias для краткости не записан: его градиент считается так же, как градиент веса при входе, равном 1.

Обозначения

[!note] Обозначения x_j - $j$-й вход
w_{ij}^{(1)} - вес от входа j к скрытому нейрону i
w_{li}^{(2)} - вес от скрытого нейрона i к выходу l
S_i^{(1)} - взвешенная сумма на входе нейрона i в первом слое
u_i - выход нейрона i первого слоя после активации
S_l^{(2)} - взвешенная сумма на входе нейрона l во втором слое
y_l - выход нейрона l второго слоя
d_l - истинное значение
F - функция активации
\delta - локальная ошибка нейрона

Прямой проход

\begin{align*}
S_i^{(1)} &= \sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}^{(1)}x_j \\
u_i &= F(S_i^{(1)}) \\
S_l^{(2)} &= \sum\limits_{i=1}^{k}w_{li}^{(2)}u_i \\
y_l &= F(S_l^{(2)}) \\
E &= \frac{1}{2}\sum\limits_{l=1}^{m}(y_l-d_l)^2
\end{align*}

Обратный проход для выходного слоя

Для веса w_{li}^{(2)} используется правило цепочки:

\frac{\partial E}{\partial w_{li}^{(2)}} =
\frac{\partial E}{\partial y_l}
\cdot
\frac{\partial y_l}{\partial S_l^{(2)}}
\cdot
\frac{\partial S_l^{(2)}}{\partial w_{li}^{(2)}}

Компоненты производной:

\frac{\partial E}{\partial y_l}=y_l-d_l

\frac{\partial y_l}{\partial S_l^{(2)}}=F'(S_l^{(2)})

\frac{\partial S_l^{(2)}}{\partial w_{li}^{(2)}}=u_i

Итог:

\frac{\partial E}{\partial w_{li}^{(2)}}=(y_l-d_l)*F'(S_l^{(2)})*u_i

Введём локальную ошибку выходного нейрона:

\delta_l^{(2)}=(y_l-d_l)*F'(S_l^{(2)})

Тогда:

\frac{\partial E}{\partial w_{li}^{(2)}}=\delta_l^{(2)}u_i

Обратный проход для скрытого слоя

Теперь нужна производная ошибки по весу первого слоя:

\frac{\partial E}{\partial w_{ij}^{(1)}}

Вес w_{ij}^{(1)} влияет на E не напрямую, а через все выходные нейроны:

w_{ij}^{(1)} \rightarrow u_i \rightarrow y_l \rightarrow E

По правилу цепочки нужно просуммировать вклады всех путей от скрытого нейрона i к выходным нейронам:

\frac{\partial E}{\partial w_{ij}^{(1)}} =
\sum\limits_{l=1}^{m}
\frac{\partial E}{\partial y_l}
\cdot
\frac{\partial y_l}{\partial u_i}
\cdot
\frac{\partial u_i}{\partial w_{ij}^{(1)}}

Первый множитель:

\frac{\partial E}{\partial y_l}=y_l-d_l

Производная выхода y_l по выходу скрытого нейрона u_i:

\frac{\partial y_l}{\partial u_i}
=
\frac{\partial y_l}{\partial S_l^{(2)}}
\cdot
\frac{\partial S_l^{(2)}}{\partial u_i}

Так как:

S_l^{(2)}=\sum\limits_{i=1}^{k}w_{li}^{(2)}u_i

то:

\frac{\partial y_l}{\partial u_i}
=
F'(S_l^{(2)})*w_{li}^{(2)}

Производная выхода скрытого нейрона u_i по весу w_{ij}^{(1)}:

\frac{\partial u_i}{\partial w_{ij}^{(1)}}
=
\frac{\partial u_i}{\partial S_i^{(1)}}
\cdot
\frac{\partial S_i^{(1)}}{\partial w_{ij}^{(1)}}

Так как:

S_i^{(1)}=\sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}^{(1)}x_j

то:

\frac{\partial u_i}{\partial w_{ij}^{(1)}}
=
F'(S_i^{(1)})*x_j

Собираем:

\frac{\partial E}{\partial w_{ij}^{(1)}} =
\sum\limits_{l=1}^{m}
(y_l-d_l)*
F'(S_l^{(2)})*
w_{li}^{(2)}*
F'(S_i^{(1)})*
x_j

Вводим локальную ошибку скрытого нейрона:

\delta_i^{(1)}
=
\sum\limits_{l=1}^{m}
(y_l-d_l)*
F'(S_l^{(2)})*
w_{li}^{(2)}*
F'(S_i^{(1)})

Или через ошибку выходного слоя \delta_l^{(2)}:

\delta_i^{(1)}
=
F'(S_i^{(1)})*
\sum\limits_{l=1}^{m}
\delta_l^{(2)}*
w_{li}^{(2)}

Тогда:

\frac{\partial E}{\partial w_{ij}^{(1)}}=\delta_i^{(1)}x_j

Итоговые формулы

Для слоя r общий шаблон такой:

\frac{\partial E}{\partial w_{ij}^{(r)}}=\delta_i^{(r)}a_j^{(r-1)}

где a_j^{(r-1)} - выход предыдущего слоя. Для первого слоя a_j^{(0)}=x_j, для второго слоя a_i^{(1)}=u_i.

Для выходного слоя:

\delta_l^{(2)}=(y_l-d_l)F'(S_l^{(2)})

Для скрытого слоя:

\delta_i^{(1)}
=
F'(S_i^{(1)})
\sum\limits_{l=1}^{m}
\delta_l^{(2)}w_{li}^{(2)}

Связанные заметки

• Обратное распространение ошибки
• Backpropagation для многослойной нейронной сети
• Нейронные сети
• Линейные модели