SecondBrain/90 Library/Machine Learning/Backpropagation для многослойной нейронной сети.md

status, type, tags, created, updated, title

status	type	tags	created	updated	title
stable	concept	machine-learning neural-networks backpropagation gradient-descent	2025-12-17	2026-05-07	Backpropagation для многослойной нейронной сети

Backpropagation для многослойной нейронной сети

Эта заметка обобщает Обратное распространение ошибки на Нейронные сети с произвольным числом слоёв. Подробный вывод для сети с одним скрытым слоем: Backpropagation для однослойного перцептрона.

Обозначения

Пусть сеть имеет N слоёв с обучаемыми весами.

• r - номер слоя, r=1,\dots,N;
• i - номер нейрона в предыдущем слое;
• j - номер нейрона в текущем слое;
• y_i^{(r)} - выход нейрона i слоя r;
• s_j^{(r)} - взвешенная сумма на входе нейрона j слоя r;
• w_{ij}^{(r)} - вес от нейрона i слоя r-1 к нейрону j слоя r;
• \delta_j^{(r)} - локальная ошибка нейрона j слоя r;
• \eta - скорость обучения (learning rate);
• d_j - целевое значение для выходного нейрона j.

Для входного слоя можно считать:

y_i^{(0)}=x_i

Шаг 1. Прямой проход

На вход сети подаётся один обучающий пример. Сигналы распространяются от входного слоя к выходному.

Для каждого слоя:

s_j^{(r)}=\sum_i w_{ij}^{(r)}y_i^{(r-1)}

y_j^{(r)}=F(s_j^{(r)})

На выходе получаем предсказание сети:

y_j^{(N)}

Шаг 2. Локальная ошибка выходного слоя

Для квадратичной ошибки:

E=\frac{1}{2}\sum_j(y_j^{(N)}-d_j)^2

Локальная ошибка выходного слоя:

\delta_j^{(N)}
=
(y_j^{(N)}-d_j)F'(s_j^{(N)})

Если в конспекте уже используется запись y_j', то это то же самое:

y_j'=F'(s_j^{(N)})

Тогда:

\delta_j^{(N)}=(y_j^{(N)}-d_j)y_j'

Шаг 3. Локальная ошибка скрытых слоёв

Для всех скрытых слоёв ошибка считается справа налево:

r=N-1,N-2,\dots,1

Формула:

\delta_i^{(r)}
=
F'(s_i^{(r)})
\sum_j
\delta_j^{(r+1)}w_{ij}^{(r+1)}

Смысл: ошибка нейрона слоя r складывается из ошибок следующего слоя, взвешенных весами связей, и умножается на производную активации текущего нейрона.

Шаг 4. Градиенты по весам

Градиент веса слоя r:

\frac{\partial E}{\partial w_{ij}^{(r)}}
=
\delta_j^{(r)}y_i^{(r-1)}

То есть градиент веса равен локальной ошибке нейрона, в который входит вес, умноженной на выход предыдущего нейрона.

Шаг 5. Изменение весов

Изменение веса:

\Delta w_{ij}^{(r)}
=
-\eta\delta_j^{(r)}y_i^{(r-1)}

Обновление веса:

w_{ij}^{(r)}(t+1)
=
w_{ij}^{(r)}(t)
+
\Delta w_{ij}^{(r)}(t)

Или сразу через градиентный спуск:

w_{ij}^{(r)}(t+1)
=
w_{ij}^{(r)}(t)
-
\eta
\frac{\partial E}{\partial w_{ij}^{(r)}}

Шаг 6. Проверка сходимости

После обновления весов алгоритм повторяется для следующих обучающих примеров.

Типовые условия остановки:

• достигнут лимит эпох;
• ошибка стала меньше заданного порога;
• ошибка перестала заметно уменьшаться;
• норма градиента стала достаточно малой.

Короткая схема

1. Прямой проход: посчитать все s^{(r)} и y^{(r)}.
2. Посчитать \delta^{(N)} для выходного слоя.
3. Для r=N-1,\dots,1 посчитать \delta^{(r)}.
4. Для каждого слоя найти \frac{\partial E}{\partial w_{ij}^{(r)}}=\delta_j^{(r)}y_i^{(r-1)}.
5. Обновить веса.
6. Повторять до остановки.

Интерпретация

Ошибка течёт от выхода к входу. На каждом слое она:

• проходит назад через веса следующего слоя;
• суммируется по всем путям влияния;
• умножается на производную функции активации текущего нейрона.

Так для каждого слоя получается своя локальная ошибка \delta^{(r)}, а дальше градиент каждого веса считается локально: ошибка принимающего нейрона умножается на выход отправляющего нейрона.

Связанные заметки

• Обратное распространение ошибки
• Backpropagation для однослойного перцептрона
• Нейронные сети
• Линейные модели