Dmitry
9.8 KiB
status, type, tags, created, updated, title
| status | type | tags | created | updated | title | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| seed | concept |
|
2026-01-21 | 2026-05-07 | Тесты На Единичный Корень |
Тесты На Единичный Корень
Модели Единичного Корня
Нестационарный случайный процесс x_{t} называется интегрированным порядка $d \geq 1$ (I(d)), если
- ряд
x_{t}нестационарен (или стационарен относительно детерминированного тренда) - разности порядка
d: \Delta^{d}x_{t}стационарны - разности меньших порядков нестационарны
Смысл: x_{t} является I(d), если операция вычисления разностей порядка d приводит нестац. случ. проц. x_{t} к стац. ряду.
Впервые при данном значении порядка разностей d.
Процессы Единичного Корня
Процессы I(d) называют процессом единичного корня, потому что:
- характеристическое уравнение модели содержит корень "$1$"
- наличие ед. корня => стохастический тренд
Модель AR(1) С Трендом
Р/м модель x_{t}=\alpha_{0}+\beta t +\alpha_{1}x_{t-1}+\epsilon_{t}
- Если $\alpha_{0} \neq 0,\ \beta=0$^
|\alpha_{1}|<1=> стац. ряд, тренда нетa_{1}=1=> DS-ряд
\beta \neq 0,\ \alpha_{0} \neq 0:|\alpha_{1}|<1=>TS\alpha_{1}=1=>DS
| TS | DS |
|---|---|
| Тренд детерминирован | Тренд стохастичен |
| Убирается детерминированием | Убирается дифференцированием |
| После вычитания тренда - стационарен | После вычитание тренда - все ещё нестационарен |
| Нет единичного корня | есть единичный корень |
| Неверный способ удаления тренда приводит к проблемам: |
- Детерминированный DS-ряд
- искажение спектра
- лишняя переодичность
- Разностирование $TS$-ряда
- передифференцирование
- сложности в оценивании модели
Таким образом TS и DS ряды визуально трудно различимы, поэтому обязательно применяются тесты на единичный корень, от которого зависит корректный выбор.
Тест Д-Ф Без Константы
Тест Дики-Фуллера - это методика, которая используется в прикладной статистике и эконометрике для анализа ВР для проверки на стационарность
Модель без константы: x_{t}=\alpha x_{t-1} + \epsilon_{t}
H_{0}: \alpha = 1 - ряд нестационарный, содержит единичный корень, описывается процессом случайного блуждания.
H_{1}: |\alpha|<1 - ряд стационарен, не содержит единичный корень, описывается стационарным авторегрессионным процессом 1-го порядка.
x_{t}-x_{t-1}=\alpha_{0}+\alpha_{1}*x_{t-1}-x_{t-1}+\phi t+\epsilon_{t} \implies \implies \Delta x_{t}=\alpha_{0}+(\alpha_{1}-1)*x_{t-1}+ \phi t + \epsilon_{t}
Обозначим (\alpha-1) =b: \Delta x_{t}=b*x_{t-1}+\epsilon_{t}
Новые гипотезы:
H_{0}: \alpha=1 \to b=0: Если ряд содержит единичный корень, то коэффициент b незначим
H_{1}: |\alpha| <1 \to b < 0: Если ряд стационарен, то b значимый и отрицательный
Идея теста: оценить уравнение обычным МНК и проверить значимость коэффициента b при помощи $t$-статистики: \hat{t}=\hat{b}/SE(\hat{b}), где SE(b) - стандартная ошибка.
В данном случае, $t$-статистика имеет распределение Дики-Фуллера.
Если рассчитанное значение статистики оказалось левее критического, то нулевая гипотеза отклоняется -> ряд стационарен.
Тест Д-Ф С Константой
Модель с константой: x_{t}=\alpha_{0}+\alpha_{1}*x_{t-1}+\epsilon_{t}
H_{0}: \alpha_{1}=1 - ряд НС., содержит единичный корень, описывается стац. авторегрессионным процессом случ. блуждания с дрейфом.
H_{1}: |\alpha_{1}|<1 - ряд С., не содержит единичный корень, описывается стац. авторегрессионным процессом 1-го порядка.
x_{t}-x_{t-1}=\alpha_{0}+\alpha_{1}*x_{t-1}-x_{t-1}+\epsilon_{t} \implies \Delta x_{t}=\alpha_{0}+(\alpha_{1}-1)*x_{t-1}+ \epsilon_{t}
Обозначим (\alpha-1) =b: \Delta x_{t}=\alpha_{0}+b*x_{t-1}+\epsilon_{t}
Тест Д-Ф С Константой И Трендом
Модель: x_{t}=\alpha_{0}+\alpha_{1}*x_{t-1}+\phi t + \epsilon_{t}
H_{0}: \alpha_{1}=1 - ряд НС., содержит единичный корень, описывается стац. авторегрессионным процессом случ. блуждания с дрейфом.
H_{1}: |\alpha_{1}|<1 - ряд С., не содержит единичный корень, описывается стац. авторегрессионным процессом 1-го порядка.
При |\alpha_{1}|<1 и \phi \neq 0 -> x_{t} стац. относительно линейного тренда (TS)
В этом случае, ряд z_{t}=x_{t}-\phi t стационарен.
x_{t}-x_{t-1}=\alpha_{0}+\alpha_{1}*x_{t-1}-x_{t-1}+\phi t+\epsilon_{t} \implies \implies \Delta x_{t}=\alpha_{0}+(\alpha_{1}-1)*x_{t-1}+ \phi t + \epsilon_{t}
Обозначим (\alpha-1) =b: \Delta x_{t}=\alpha_{0}+b*x_{t-1}+\phi t+\epsilon_{t}
Расширенный Тест Д-Ф
Обобщение критерия Д-Ф для учета авторегрессии $p$-порядка составляет суть расширенного критерия Д-Ф ($ADF$-тест)
Общий случай без константы: x_{t}=\alpha_{1}x_{t-1}+\dots+\alpha_{p}x_{t-p}+\epsilon_{t}
H_{0}: ряд является НС, содержит единичный корень
H_{1}: ряд является стационарным процессом AR(p)
x_{t}-x_{t-1}=(\alpha_{1}x_{t-1}+\dots+\alpha_{p}x_{t-p}+\epsilon_{t})-x_{t-1} \implies
\implies \Delta x_{t}=(\alpha_{1}-1) x_{t-1}+\alpha_{2}x_{t-2}+\dots+\alpha_{p}x_{t-p}+\epsilon_{t}
Оценка уравнения:
\Delta x_{t}=b*x_{t-1}+c_{1}*\Delta x_{t-1}+\dots+c_{p-1}*\Delta x_{t-p+1}+\epsilon_{t}
(\Delta x_{t}= \gamma*x_{t-1}+\sum\limits_{t=1}^{p-1}\phi_{i} \Delta x_{t-1}+\epsilon_{t})
Расчетное значение статистики: \hat{t} = \frac{\hat{b}}{SE(\hat{b})}
Модель с константой:
x_{t}=\alpha_{0}+\alpha_{1}x_{t-1}+\dots+\alpha_{p}x_{t-p}+\epsilon_{t} \implies
\implies \Delta x_{t}=\alpha_{0}+bx_{t-1}+c_{1} \Delta x_{t-1}+\dots+c_{p-1} \Delta x_{t-p+1} +\epsilon_{t}
(\Delta x_{t}=\mu+\gamma x_{t-1}+\sum\limits_{t=1}^{p-1}\phi_{i} \Delta x_{t-1}+\epsilon_{t})
Модель с константной с трендом:
x_{t}=\alpha_{0}\alpha_{1} x_{t-1} + \dots + \alpha_{p} x_{t-p}+\phi t + \epsilon_{t} \implies
\implies \Delta x_{t}=\alpha_{0}+b x_{t-1}+c_{1} \Delta x_{t-1} + \dots + c_{p-1} \Delta x_{t-p+1}+ \phi t + \epsilon_{t}
(\Delta x_{t}=\mu+\beta t + \gamma x_{t-1} + \sum\limits_{t=1}^{p-1}\phi_{i} \Delta x_{t-1} +\epsilon_{t})
В данном случае, $t$-статистика имеет распределение Дики-Фуллера. Если рассчитанное значение статистики оказалось левее критического, то нулевая гипотеза отклоняется -> ряд стационарен.
Критическое значение расширенного критерия Д-Ф. совпадают с критическим значением обычного критерия Д-Ф., роль дополнительной авторегрессионной компоненты сводится к тому, чтобы исключить автокорреляцию остатков, при которой тест не работает.
Ограничения:
- Не включать лишние регрессоры (мощность снижается)
- Чувствительность к выбору числа лагов
- Не применять при негомоскедастичности остатков
- Ложное принятие при наличии структурных сдвигов
- Некорректно использовать при наличии нескольких единичных корней