SecondBrain/90 Library/03 Math/Статистика/Временные ряды/Моделирование временных рядов.md

status, type, tags, created, updated, title

status	type	tags	created	updated	title
stable	concept	math ml mephi statistics time-series	2026-02-13	2026-05-07	Моделирование Временных Рядов

Моделирование Временных Рядов

Модели Авторегрессии

Одномерные случайные процессы:

I. AR(1) Процесс Авторегрессии 1-го Порядка

x_t = \mu + \alpha_1 x_{t-1} + \epsilon_t, где |\alpha_1| < 1 - необходимое условие стационарности.

M = \frac{\mu}{1-\alpha_1}

\gamma_0 = \frac{\sigma^2}{1-\alpha_1^2}, где \rho_k = \alpha_1^k

\gamma_k = \alpha_1^k * \frac{\sigma^2}{1-\alpha_1^2}

Значит, АКФ для AR(1):

1. Экспоненциально убывает с ростом лага k при \alpha_1 > 0

2. Осцилирующе затухает при \alpha_1 < 0

   По определению АКФ(1) = ЧАКФ(1). ЧАКФ процесса AR(1) равна нулю при значениях k>1.

Характеристическое свойство AR(1)

Только первое значение ВЧАКФ для AR(1) процесса выходит за пределы доверительной трубки

II. AR(2) Процесс Авторегреcсии 2-го Порядка

\large x_t = \mu + \alpha_1 x_{t-1} + \alpha_2 x_{t-2} + \epsilon_t

Характеристическое уравнение: \lambda^2 - \alpha_1\lambda-\alpha_2 = 0, где |\alpha_1| < 1\ и\ |\alpha_2| < 1 - необходимые условия стационарности.

При выполнении условий стационарности АКФ процесса AR(2):

1. Экспоненциально убывает, если корни дейтвительны
2. Осцилирующе затухает, если корни комплексные

ЧАКФ процесса AR(2) равна нулю, при k>2

Характеристическое свойство AR(2)

Только первые два значения ВЧАКФ для AR(2) процесса выходят за пределы доверительной трубки.

Лаговый оператор (для AR(3)): \begin{matrix} L(x_t) = x_{t-1} \\ L^2(x_t) = L(L(x_t)) = L(x_{t-1}) = x_{t-2} \end{matrix}

III. AR(p) Процесс Авторегрессии $p$-го Порядка

x_t = \mu + \alpha_1 x_{t-1} + \dots + \alpha_p x_{t-p} + \epsilon_t = \mu + \alpha_1 L(x_t) + \dots + \alpha_p L^p (x_t) + \epsilon_t x_t - \alpha_1 L(x_t) + \dots + \alpha_p L^p(x_t) = \mu + \epsilon_t (1 - \alpha_1L + \dots + \alpha_p L^p) * x_t = \mu + \epsilon_t

Характеристическое уравнение: \begin{matrix} 1 - \alpha_1 z + \dots + \alpha_p z^p = 0, \text{где}\ |z_j| > 1 \\ \lambda - \alpha_1 \lambda^{p-1} - \dots - \alpha_p \lambda^0 = 0, \text{где}\ |\lambda_j| < 1 \end{matrix}

Модели Скользящего Среднего (СС)

Скользящее среднее - Moving Average

Теорема Вольда: x_t - \mu = \sum_{T=0}^{\infin} \psi_T \epsilon_{t-T}, где \psi_{T} - весовые коэффициенты, \epsilon_{t-T} - белый шум.

• \sum_{T=0}^{\infin} \psi_T < \infin
• Т.к. реалзации белого шума ненаблюдаемы, то весовые коэффиенты определены с точностью до множителя, поэтому \psi_0 = 1.

Процесс скользящего среднего порядка q - стохастический процесс, в разложении Вольда которого присутствует только q слагаемых, где q - число параметров СС.

1. MA(1): x_t = \epsilon_t + \beta_1 \epsilon_{t-1}

   Характеристики: \begin{matrix} M = 0 & \gamma_1 = \beta_1 \sigma^2 \\ \\ \gamma_0 = (1+\beta_1^2) \sigma^2 & \gamma_2 = \gamma_3 = \dots = 0 \\ \\ \gamma_0\ и\ \gamma_1 \neq 0 & p_1 = \frac{\beta_1}{1+ \beta_1^2};\ p_2 = p_3 = \dots = 0 \end{matrix}

2. MA(2): x_t = \epsilon_t + \beta_1 \epsilon_{t-1} + \beta_2 \epsilon_{t-2}

3. MA(q): x_t = \epsilon_t + \beta+1 \epsilon_{t-1} + \beta_2 \epsilon_{t-2} + \dots + \beta_q \epsilon_{t-q} = = \epsilon_t + \beta_1 L^1(\epsilon_t) + \beta_2 L^2(\epsilon_t) + \dots + \beta_q L^q(\epsilon_t) = (1 + \beta_1 L^1(\epsilon_t) + \dots + \beta_q L^q(\epsilon_t))\epsilon_t

Процесс стационарен при любых значениях \beta_1, \dots, \beta_q.

1 + \beta_1 L^1(\epsilon_t) + \dots + \beta_q L^q(\epsilon_t) == 1 + лин.комбинация лаговых операторов

\forall\ \text{процесс СС. стационарен при}\ \forall \beta \\ x\ \text{зависит только от белых шумов}