SecondBrain/90 Library/03 Math/Статистика/Временные ряды/Модели АРПСС. Методология Бокса-Дженкинса.md

status, type, tags, created, updated, title

status	type	tags	created	updated	title
stable	concept	math ml mephi statistics time-series	2026-02-13	2026-05-07	Модели АРПСС. Методология Бокса-Дженкинса

Модели АРПСС. Методология Бокса-Дженкинса

Модели АРПСС (ARIMA)

Модели Бокса-Дженкинса относятся к классу одномерных моделей, где текущее значение ряда зависит только от его собственной предыстории.

Процесс АРПСС ($p, d, q$) — это интегрированный процесс авторегрессии со скользящим средним в остатках.

• Если ряд является интегрированным $d$-го порядка, и его $d$-я разность описывается процессом ARMA(p, q), то исходный процесс — ARIMA(p, d, q).

Базовые Компоненты Модели

1. Авторегрессия ($AR(p)$): Текущее значение ряда зависит от его прошлых p значений (x_{t-1}, \dots, x_{t-p}).
   • Условие стационарности AR: Все корни характеристического уравнения должны лежать вне единичного круга по модулю (|z_j|>1).
2. Скользящее среднее ($MA(q)$): Текущее значение ряда зависит от текущего и прошлых q случайных ошибок (\epsilon_t, \dots, \epsilon_{t-q}).
   • Условие стационарности MA: Процесс MA(q) стационарен при любых значениях параметров \beta_i.
3. Белый шум ($\epsilon_t$): Случайный шум, который является остатками, не имеющими автокорреляции (\rho_k = 0 при k \neq 0) и имеющими постоянную дисперсию (\sigma^2_{\epsilon} > 0).

III. Методология Бокса-Дженкинса (4 этапа)

Методология представляет собой процедуру подбора оптимальной модели ARIMA(p, d, q).

1. Этап 1: Идентификация Модели (Определение d, P, q)

Цель — определить структуру модели.

• Шаг 1. Определение d (Порядка интегрированности):
  • Сначала проверяется стационарность ряда (визуально или с помощью тестов, таких как расширенный критерий Дики-Фуллера (ADF) или KPSS-тест).
  • Если ряд нестационарен, берутся разности (\Delta x_t), и процесс повторяется до получения стационарного ряда. d — это количество взятых разностей.
• Шаг 2. Определение порядков p и $q$:
  • Анализируются графики автокорреляционной функции (АКФ) и частной автокорреляционной функции (ЧАКФ) для стационарных разностей ряда.
  • Порядок АР ($p$): определяется по обрыву ЧАКФ (PACF). Обрыв — когда коэффициент незначимо отличается от нуля (<\pm 1.96/\sqrt{T}).
  • Порядок СС ($q$): определяется по обрыву АКФ (ACF).
  • Для смешанных моделей (АРСС) АКФ и ЧАКФ затухают (бесконечно убывающие).

2. Этап 2: Оценивание Модели

• Параметры выбранных моделей-кандидатов оцениваются (обычно с использованием точного или условного метода максимального правдоподобия (ММП)).

3. Этап 3: Проверка Адекватности Модели (Диагностика)

Проверка того, что остатки модели соответствуют белому шуму. Если модель неадекватна, возвращаются к Этапу 1 или 2.

• Критерии проверки:
  1. Значимость коэффициентов.
  2. Анализ остатков: Остатки должны быть нормально распределены, некоррелированы (проверяется с помощью АКФ/ЧАКФ остатков или Q-статистик Бокса-Пирса/Бокса-Льюнга) и иметь постоянную дисперсию (проверяется тестом на ARCH-эффект).
• Выбор лучшей модели: Если несколько моделей адекватны, выбирается та, которой соответствует минимальное значение информационных критериев:
  • Критерий Акаике (AIC).
  • Критерий Шварца (BIC).
  • Критерий Хеннана-Куинна (HQ).

4. Этап 4: Прогнозирование

• Лучшая модель используется для прогнозирования будущих значений (x_{T+h}).
• Наилучшим является прогноз, который минимизирует среднеквадратическую ошибку прогноза, что достигается использованием условного математического ожидания E(x_{T+h} | x_T, x_{T-1}, \dots).
• На практике также могут быть построены доверительные интервалы для прогноза, и может быть сформирован обобщенный прогноз (портфель моделей).