SecondBrain/01 Library/03 Math/Статистика/Факторный анализ/Требования к факторам. Линейная модель факторного анализа.md

status, type, tags, created, updated, title

status	type	tags	created	updated	title
stable	concept	math mephi statistics factor-analysis linear-models	2026-01-20	2026-05-07	Требования К Факторам. Линейная Модель Факторного Анализа

Требования К Факторам. Линейная Модель Факторного Анализа

Требования К Факторам

Общие и характерные факторы центрировано-нормированные: \begin{align} M(f_{r}) = 0 \\ M(v_{i})=0 \\ \\ D(f_{r})=1 \\ D(v_{i})=1\end{align} Естественные требования: M(v_{i}*v_{s})=\rho(v_{i},v_{s})=0,\ \ \ \forall i,s=\overline{1...k}\ \ \ i \neq k M(f_{r}*v_{i})=\rho(f_{r},v_{i})=0\ \ \ r=\overline{1 \dots m}\ \ \ i=\overline{1 \dots k}

Линейная Модель

x_{ij}=\sum\limits_{r=1}^{m}a_{jr}f_{ir}+d_{j}u_{ij}

Где:

• x_{ij} - значение $j$-го признака для $i$-го объекта. (i=1,\dots,N;\ j=1,\dots,k)
• a_{ir} - факторная нагрузка $j$-го признака по $r$-ому общему фактору. Показывает степень влияния фактора на признак.
• f_{ir} - индивидуальное значение (score) $r$-го общего фактора для $i$-го объекта. Насколько сильно данный фактор проявлен у конкретного объекта.
• u_{ij} - значение характерного фактора для $i$-го объекта по $j$-му признаку.
• d_{j} - нагрузка характерного фактора.

Матричная Форма

$$A_{k*m} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m} \ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2m} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{km} \end{pmatrix}$$

• матрица факторных нагрузок (весовых коэффициентов при общих факторах) $$D_{k*k} = \begin{pmatrix} d_{1} & 0 & \dots & 0 \ 0 & d_{2} & \dots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \dots & d_{k} \end{pmatrix}$$
• матрица характерностей (матрица весовых коэффициентов при характерных факторах)

M_{k*(m+k)} = (A:D)

• матрица весовых коэффициентов при факторах

f_{(m+k) * n}^{*}= \begin{pmatrix} f \\ v \end{pmatrix}

• вектор общих и характерных факторов

x = Af + Dv = Mf^{*}

• модель ФА в матричной форме $$f_{m*n} = \begin{pmatrix} f_{11} & \dots & f_{1n} \ \vdots & \ddots & \vdots \ f_{m1} & \dots & f_{mn} \end{pmatrix}$$
• матрица индивидуальных значений общих факторов $$v_{k*n} = \begin{pmatrix} v_{11} & \dots & v_{1n} \ \vdots & \ddots & \vdots \ v_{m1} & \dots & v_{kn} \end{pmatrix}$$
• матрица индивидуальных значений характерных факторов