SecondBrain/01 Library/03 Math/Статистика/Факторный анализ/Основные числовые характеристики главных компонент.md

status, type, tags, created, updated, title

status	type	tags	created	updated	title
stable	concept	mephi math statistics factor-analysis	2026-01-20	2026-05-07	Основные Числовые Характеристики Главных Компонент

Основные Числовые Характеристики Главных Компонент

1. Математическое ожидание Если исх. признаки X_{j} центрированы (т.е. E[X_{j}]=0), то математическое ожидание каждой ГК также равно нулю: E[Z_{s}]=0
2. Дисперсия Дисперсия каждой ГК равна соотв. СЧ \lambda_{s} ковариационной (корреляционной) матрицы исх. признаков: D(Z_{s})=\lambda_{s}
3. Ковариация ГК являются некоррелированными между собой (взаимно ортогональны). Ковариация между любыми компонентами равна нулю: cov(Z_{s},Z_{l})=0,\ s \neq l
4. Суммарная дисперсия Сумма дисперсий всех главных компонент равна сумме дисперсий исх. признаков (следу ковар. матрицы) \sum\limits_{s=1}^{k}D(Z_{s})=\sum\limits_{j=1}^{k}D(X_{j})=\sum\limits_{s=1}^{k}\lambda_{s}
5. Показатель информативности Для оценки того, какую часть информации описывает конкретная компонента (или набор из m первых компонент), используется:
   • Удельный вес дисперсии: \large d_{s}=\frac{\lambda_{s}}{\Sigma \lambda_{s}}
   • Кумулятивная доля дисперсии: \large D_{m}=\frac{\sum_{s=1}^{m} \lambda_{s}}{\sum_{j=1}^{k}\lambda_{j}}
6. Корреляция с исх. признаками (факторные нагрузки) Коэфф. корреляции между исх. признаком X_{i} и ГК Z_{j} рассчитываются через элементы СВ u_{ij} и СЧ: r(X_{i},Z_{j})=\frac{u_{ij}\sqrt{\lambda_{j}}}{\sigma_{i}}