Dmitry
4.3 KiB
status, type, tags, created, updated, title
| status | type | tags | created | updated | title | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| seed | concept |
|
2026-01-21 | 2026-05-07 | Вращение Факторов |
Вращение Факторов
Задача Вращения Общих Факторов
Построение простой структуры, т.е. такого расположения признаков, при котором они находятся вблизи от координатных осей или в непосредственной близости к началу координат. Вращение не изменяет общностей и суммарной объясненной дисперсии, а служит исключительно для повышения интерпретации факторов.
Пространство Общих Факторов
Пространство общих факторов - пространство, координатами которого являются нагрузки признака на общие факторы.
d_{l}^{оф}=\sqrt{\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}^{\alpha}}=h_{i} - длина вектора, соответствующего $i$-му, признаку в пространстве общих факторов.
\rho(x_{i}, x_{l})^{оф}=\cos(\phi_{il}^{оф})=\frac{1}{h_{i}h_{l}}\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}a_{lr} !Pasted image 20260121124001.png
Полное Факторное Пространство
Включает общие и характерные факторы
d_{i}^{П}=\sqrt{\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}^{2}+d_{i}^{2}}=1 - длина вектора, соответствующего $i$-ому признаку, в полном факторном пространстве (=1 т.к. это дисперсия, а признаки были нормированы)
\rho(x_{i},x_{l})^{П}=\cos(\phi_{il}^{П})=\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}a_{lr}
Вращение Факторов
Осуществляется умножением матрицы факторных нагрузок A на матрицу преобразования T: A^{*}=AT
Ортогональное
- все факторы поворачиваются на один и тот же угол
- факторы остаются некоррелированными
Матрица
T- ортогональна:T^{T}T=EПримеры: варимакс, квартимакс, биквартимакс, эквимакс
!Pasted image 20260121124452.png
\vec{e_{1}}=\pmatrix{1\\0}, \vec(e)_{2}=\pmatrix{0\\1} - единичные вектора в исходной системе координат.
\vec{e}_{1}^{'}=\pmatrix{\cos{\alpha}\\-\sin{\alpha}}, \vec{e}_{2}^{'}=\pmatrix{\sin{\alpha}\\\cos{\alpha}}
T = \pmatrix{\cos{\alpha} & \sin{\alpha}\\-\sin{\alpha} & \cos{\alpha}}
Косоугольное
- факторы могут поворачиваться на разные углы
- между факторами возникают корреляции Используется неортогональные матрицы преобразования Примеры: облимакс, квартимин, облимин
Варимакс
Цель: максимизировать дисперсии квадратов факторных нагрузок по переменным для каждого фактора, что приводит к простой структуре. Чаще используется варимакс нормализованных ф.н.
V_{r}=\frac{k\sum\limits_{i=1}^{k}a_{ir}^{4}-(\sum\limits_{i=1}^{k}a_{ir}^{2})^{2}}{k^{2}} \to \max,\ r=\overline{1,m}
Квартимакс
Цель: максимизировать дисперсию квадратов нагрузок по факторам для каждой переменной, т.е. надо связать каждый признак с минимальным числом факторов.
q = \sum\limits_{i=1}^{k}\frac{\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}^{4}-(\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}^{2})^{2}}{m^{2}} \to \max
работает по строкам матрицы нагрузок. Стремление к тому, чтобы каждый признак имел одну большую нагрузку, и минимум остальных.