SecondBrain/01 Library/03 Math/Статистика/Факторный анализ/Алгоритм оценки главных факторов. Матрица индивидуальных значений ГФ.md

status, type, tags, created, updated, title

status	type	tags	created	updated	title
processing	concept	math mephi statistics factor-analysis	2026-01-20	2026-05-07	Алгоритм Оценки Главных Факторов. Матрица Индивидуальных Значений ГФ

Алгоритм Оценки Главных Факторов. Матрица Индивидуальных Значений ГФ

Оценка ГФ

Оценка корреляционной матрицы исходных признаков:

x^{*}=(x_{1}^{*},\dots,x_{k}^{*})^{T} \in N(0,\Sigma_{x^{*}})\ \ \ \Sigma_{x^{*}}=R

X = \begin{pmatrix} x_{11} & \dots & x_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{k1} & \dots & x_{kn} \end{pmatrix} - матрица "свойство-объект" (центрировано-нормированная)

Оценка матрицы парных коэффициентов корреляции: \hat{R} = \frac{1}{n}XX^{T}

Проверка гипотезы о незначимости корреляционной матрицы (критерий Уилкса)

H_{0}: R=E_{k} H_{1}: R \neq E_{k} \chi^{2}=-(n-\frac{1}{6}(2k+5))\ln|\hat{R}| \in \chi^{2}(v) v = \frac{k(k-1)}{2}

Метод оценки общности: \hat{h}^{2}_{i}=R^{2}_{x_{i}/(\dots)}

Критерий Лоули: H_{0}: m ГФ достаточно H_{1}:\ m ГФ не достаточно m < \frac{k-1}{2}

\chi^{2}=(n-1)\ln{\frac{|AA^{T}|}{|\hat{R}|}}\in \chi^{2}(v) v = \frac{1}{2}((k-m)^{2}-k-m)

Критерий Кайзера: отбор факторов СЧ>1 Критерий каменистой осыпи: число факторов выбирается по точке излома, после которой СЧ убывают медленно или почти линейно.

Матрица Индивидуальных Значений ГФ

x_{ij}=a_{i1}f_{1j}+\dots+a_{im}f_{mj}+d_{i}v_{ij},\ \ i=\overline{1,k}, \ \ j=\overline{1,n}

X = Af+Dv

f = \pmatrix{f_{11} & \dots & f_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{m1} & \dots & f_{mn}}

v = \pmatrix{v_{11} & \dots & v_{1n} \\ \vdots \\ v_{k1} & \dots & v_{kn}}

f_{j} = \pmatrix{f_{1j}\\f_{2j}\\\vdots\\f_{mj}} - индивидуальные значения ГФ для $j$-го объекта x_{j}=\pmatrix{x_{1j}\\\vdots\\x_{kj}} - наблюдаемое значение признаков для $j$-го объекта

Оценка Индивидуальных Значений ГФ. Метод Бартлетта

Представим модель линейной множественной регрессии: x_{j}=z\beta_{j}+\epsilon_{j} - ЛММР, j=\overline{1,n}

z = \pmatrix{z_{11} & \dots & z_{1m} \\ \vdots \\ z_{k1} & \dots & z_{km}}=A;

\beta_{j} = \pmatrix{\beta_{1j}\\\vdots\\\beta_{mj}}=f_{j};

\epsilon_{j}=\pmatrix{\epsilon_{1j}\\\vdots\\\epsilon_{kj}}

\Sigma_{\epsilon_{j}}=M(\epsilon_{j}*\epsilon_{j}^{T})=D^{2} \hat{\beta_{j}}=(z^{T}(D^{2})^{-1}z)^{-1}(z^{T}(D^{2})^{-1}x_{j}); b_{омнк} = (X^{T}\Sigma^{-1}X)^{-1}(X^{T}\Sigma^{-1}Y) \hat{f}_{j}=(A^{T}(D^{2})^{-1}A)^{-1}(A^{T}(D^{2})^{-1}X_{j})