---
status: seed
type: concept
tags:
  - machine-learning
  - neural-networks
  - backpropagation
created: 2025-12-17
updated: 2026-05-02
title: Обратное распространение ошибки - вывод
---

# Обратное распространение ошибки - вывод

Эта заметка фиксирует математический вывод градиента для алгоритма [[Обратное распространение ошибки]]. Общий контекст нейронных сетей находится в [[Нейронные сети]].

## Обозначения

> [!note] Обозначения
> $x_{j}$ — $j$-й вход  
> $w_{ij}^{(1)}$ — вес от входа $j$ к скрытому нейрону $i$  
> $w_{li}^{(2)}$ — вес от скрытого нейрона $i$ к выходу $l$  
> $S_{i}^{(1)}$ — взвешенная сумма на входе нейрона $i$ в первом слое  
> $u_{i}$ — выход нейрона $i$ первого слоя после активации  
> $S_{l}^{(2)}$ — взвешенная сумма на входе нейрона $l$ во втором слое  
> $y_{l}$ — выход нейрона $l$ второго слоя  
> $d_{l}$ — истинное значение  
> $F$ — функция активации

## Прямой проход

$$
\begin{align*}
S_{i}^{(1)} &= \sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}^{(1)}x_{j} \\
u_{i} &= F(S_{i}^{(1)}) \\
y_{l} &= F(S_{l}^{(2)}) \\
E &= \frac{1}{2}\sum\limits_{l=1}^{m}(y_{l}-d_{l})^{2}
\end{align*}
$$

## Обратный проход для выходного слоя

Для веса $w_{li}^{(2)}$ используется правило цепочки:

$$
\begin{align*}
\frac{dE}{dw_{li}^{(2)}} &=
\frac{dE}{dy_{l}}
\cdot
\frac{dy_{l}}{dS_{l}^{(2)}}
\cdot
\frac{dS_{l}^{(2)}}{dw_{li}^{(2)}}
\end{align*}
$$

Компоненты производной:

$$
\frac{dE}{dy_l}=y_l-d_l
$$

$$
\frac{dy_l}{dS_l^{(2)}}=F'(S_l^{(2)})
$$

$$
\frac{dS_l^{(2)}}{dw_{li}^{(2)}}=u_i
$$

Итог:

$$
\frac{dE}{dw_{li}^{(2)}}=(y_l-d_l)F'(S_l^{(2)})u_i
$$

## Связанные заметки

- [[Обратное распространение ошибки]]
- [[Нейронные сети]]