--- status: seed type: concept tags: - mephi - math created: 2026-01-21 updated: 2026-02-27 title: Вращение Факторов --- # Вращение Факторов ## Задача Вращения Общих Факторов Построение простой структуры, т.е. такого расположения признаков, при котором они находятся вблизи от координатных осей или в непосредственной близости к началу координат. Вращение не изменяет общностей и суммарной объясненной дисперсии, а служит исключительно для повышения интерпретации факторов. ## Пространство Общих Факторов **Пространство общих факторов** - пространство, координатами которого являются нагрузки признака на общие факторы. $d_{l}^{оф}=\sqrt{\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}^{\alpha}}=h_{i}$ - длина вектора, соответствующего $i$-му, признаку в пространстве общих факторов. $\rho(x_{i}, x_{l})^{оф}=\cos(\phi_{il}^{оф})=\frac{1}{h_{i}h_{l}}\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}a_{lr}$ ![[Pasted image 20260121124001.png|300]] ## Полное Факторное Пространство Включает общие и характерные факторы $d_{i}^{П}=\sqrt{\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}^{2}+d_{i}^{2}}=1$ - длина вектора, соответствующего $i$-ому признаку, в полном факторном пространстве ($=1$ т.к. это дисперсия, а признаки были нормированы) $\rho(x_{i},x_{l})^{П}=\cos(\phi_{il}^{П})=\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}a_{lr}$ ## Вращение Факторов Осуществляется умножением матрицы факторных нагрузок $A$ на матрицу преобразования $T$: $A^{*}=AT$ ### Ортогональное - все факторы поворачиваются на **один и тот же** угол - факторы остаются некоррелированными Матрица $T$ - ортогональна: $T^{T}T=E$ Примеры: варимакс, квартимакс, биквартимакс, эквимакс ![[Pasted image 20260121124452.png|300]] $\vec{e_{1}}=\pmatrix{1\\0}$, $\vec(e)_{2}=\pmatrix{0\\1}$ - единичные вектора в исходной системе координат. $\vec{e}_{1}^{'}=\pmatrix{\cos{\alpha}\\-\sin{\alpha}}$, $\vec{e}_{2}^{'}=\pmatrix{\sin{\alpha}\\\cos{\alpha}}$ $T = \pmatrix{\cos{\alpha} & \sin{\alpha}\\-\sin{\alpha} & \cos{\alpha}}$ ### Косоугольное - факторы могут поворачиваться на **разные** углы - между факторами возникают корреляции Используется неортогональные матрицы преобразования Примеры: облимакс, квартимин, облимин ### Варимакс **Цель**: максимизировать дисперсии квадратов факторных нагрузок **по переменным для каждого фактора**, что приводит к простой структуре. Чаще используется **варимакс нормализованных ф.н.** $$V_{r}=\frac{k\sum\limits_{i=1}^{k}a_{ir}^{4}-(\sum\limits_{i=1}^{k}a_{ir}^{2})^{2}}{k^{2}} \to \max,\ r=\overline{1,m}$$ ### Квартимакс **Цель**: максимизировать дисперсию квадратов нагрузок по **факторам для каждой переменной**, т.е. надо *связать каждый признак с минимальным числом факторов*. $$q = \sum\limits_{i=1}^{k}\frac{\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}^{4}-(\sum\limits_{r=1}^{m}a_{ir}^{2})^{2}}{m^{2}} \to \max$$ работает по строкам матрицы нагрузок. Стремление к тому, чтобы каждый признак имел одну большую нагрузку, и минимум остальных.