---
status: seed
type: concept
tags:
  - machine-learning
  - neural-networks
  - associative-memory
created: 2025-12-17
updated: 2026-05-15
title: Сеть Хопфилда
---

# Сеть Хопфилда

**Сеть Хопфилда** - однослойная рекуррентная [[Нейронные сети|нейронная сеть]], используемая как ассоциативная память. Она получает входной, возможно искажённый, образ и постепенно приводит состояние сети к одному из сохранённых эталонов.

В отличие от [[Сеть Хэмминга|сети Хэмминга]], сеть Хопфилда выдаёт не номер ближайшего образа, а сам восстановленный образ.

## Идея

Сеть хранит набор эталонных образов как устойчивые состояния. При подаче входного сигнала значения выходов нейронов инициализируются этим сигналом, после чего сеть итеративно пересчитывает состояния. Если вход близок к одному из эталонов, динамика сети должна сойтись к нему.

По смыслу входной образ работает как ключ: сеть "вспоминает" наиболее близкий сохранённый образ.

В общем случае входной сигнал описывается биполярным вектором:

$$
X=(x_1,\dots,x_n),\quad x_i \in \{-1,1\}
$$

Эталонный образ $k$ можно обозначить как:

$$
X^k=(x_1^k,\dots,x_n^k),\quad k=1,\dots,m
$$

Если сеть успешно распознаёт образ, её выход совпадает с одним из эталонов:

$$
Y=X^k
$$

Если выходной вектор не совпал ни с одним эталоном, сеть пришла к ложному или неинтерпретируемому состоянию.

## Архитектура

Основные свойства сети Хопфилда:

- каждый нейрон связан с другими нейронами;
- выходы нейронов возвращаются на входы сети;
- связь нейрона с самим собой обычно исключается;
- веса задаются заранее по эталонным образам;
- состояние сети изменяется до стабилизации.

![[Pasted image 20260515090401.png]]

Инициализация сети задаёт начальные выходы нейронов. При функционировании сеть изменяет состояние до тех пор, пока не придёт к устойчивому образу. Если входной сигнал близок к одному из сохранённых эталонов, сеть восстанавливает этот эталон.

Для сети Хопфилда часто используется бинарная функция активации, описанная в [[Нейронные сети]].

## Инициализация весов

Веса задаются по эталонным образам один раз перед началом работы сети:

$$
w_{ij}=\sum\limits_{k=1}^{m}x_i^k x_j^k,\quad i\neq j
$$

Обычно связь нейрона с самим собой исключают:

$$
w_{ii}=0
$$

После такой инициализации сеть не дообучается на входных примерах, а использует уже записанные в матрицу связей эталоны.

## Алгоритм функционирования

1. На вход подаётся неизвестный сигнал. Фактически ввод выполняется установкой начальных значений аксонов:

$$
y_i(0)=x_i,\quad i=0,\dots,n-1
$$

Ноль в скобках обозначает нулевую итерацию работы сети.

2. Рассчитывается новое состояние нейронов:

$$
s_j(p+1)=\sum\limits_{i=1}^{n-1}w_{ij}y_i(p),\quad j=0,\dots,n-1
$$

После этого вычисляются новые значения аксонов:

$$
y_j(p+1)=f[s_j(p+1)]
$$

где $f$ - функция активации в виде скачка.

![[Pasted image 20260514115340.png|300]]

3. Проверяется, изменились ли выходные значения за последнюю итерацию. Если изменились, сеть возвращается к пересчёту состояний. Если выходы стабилизировались, работа завершается.

Итоговый выходной вектор считается образом, который лучше всего соответствует входным данным.

## Ограничения

Сеть Хопфилда может не распознать образ корректно и выдать несуществующий эталон. Это связано с ограниченной ёмкостью ассоциативной памяти.

Для сети Хопфилда число запоминаемых образов обычно не должно превышать:

$$
m \approx 0.15n
$$

где $n$ - число нейронов.

Если два эталона слишком похожи, возможны перекрёстные ассоциации: предъявление первого образа может привести к восстановлению второго, и наоборот.

Сеть Хопфилда хорошо подходит для восстановления или завершения образа, но не предназначена для явного сопоставления образа с номером класса. Для такой задачи удобнее [[Сеть Хэмминга]].

## Связанные заметки

- [[Сеть Хэмминга]]
- [[Нейронные сети]]