---
status: stable
type: concept
tags:
  - math
  - mephi
  - statistics
  - factor-analysis
  - linear-models
created: 2026-01-20
updated: 2026-05-07
title: Требования К Факторам. Линейная Модель Факторного Анализа
---

# Требования К Факторам. Линейная Модель Факторного Анализа
## Требования К Факторам
Общие и характерные факторы центрировано-нормированные:
$$\begin{align} M(f_{r}) = 0 \\ M(v_{i})=0 \\ \\ D(f_{r})=1 \\ D(v_{i})=1\end{align}$$ Естественные требования:
$M(v_{i}*v_{s})=\rho(v_{i},v_{s})=0,\ \ \ \forall i,s=\overline{1...k}\ \ \ i \neq k$
$M(f_{r}*v_{i})=\rho(f_{r},v_{i})=0\ \ \ r=\overline{1 \dots m}\ \ \ i=\overline{1 \dots k}$

## Линейная Модель
$$x_{ij}=\sum\limits_{r=1}^{m}a_{jr}f_{ir}+d_{j}u_{ij}$$
Где:
- $x_{ij}$ - **значение** $j$-го признака для $i$-го объекта. ($i=1,\dots,N;\ j=1,\dots,k$)
- $a_{ir}$ - **факторная нагрузка** $j$-го признака по $r$-ому **общему** фактору. Показывает степень влияния фактора на признак.
- $f_{ir}$ - **индивидуальное значение (score)** $r$-го общего фактора для $i$-го объекта. Насколько сильно данный фактор проявлен у конкретного объекта.
- $u_{ij}$ - значение **характерного** фактора для $i$-го объекта по $j$-му признаку.
- $d_{j}$ - **нагрузка** характерного фактора.

## Матричная Форма
$$A_{k*m} = \begin{pmatrix} 
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
a_{k1} & a_{k2} & \dots & a_{km} 
 \end{pmatrix}$$
  - матрица факторных нагрузок (весовых коэффициентов при общих факторах)
 $$D_{k*k} = \begin{pmatrix}
 d_{1} & 0 & \dots & 0 \\
 0 & d_{2} & \dots & 0 \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots  \\ 
 0 & 0 & \dots & d_{k} 
 \end{pmatrix}$$
  - матрица характерностей (матрица весовых коэффициентов при характерных факторах)
 $$M_{k*(m+k)} = (A:D)$$
  - матрица весовых коэффициентов при факторах
 $$f_{(m+k) * n}^{*}= \begin{pmatrix} f \\ v \end{pmatrix}$$
  - вектор общих и характерных факторов

$$x = Af + Dv = Mf^{*}$$
- модель ФА в матричной форме
$$f_{m*n} = \begin{pmatrix} 
f_{11} & \dots & f_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots  \\ 
f_{m1} & \dots & f_{mn}
\end{pmatrix}$$
- матрица индивидуальных значений общих факторов
$$v_{k*n} = \begin{pmatrix} 
v_{11} & \dots & v_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots  \\ 
v_{m1} & \dots & v_{kn}
\end{pmatrix}$$
- матрица индивидуальных значений характерных факторов