---
status: stable
type: concept
tags:
- mephi
- math
- statistics
- factor-analysis
created: 2026-01-20
updated: 2026-05-07
title: Основные Числовые Характеристики Главных Компонент
---
# Основные Числовые Характеристики Главных Компонент
1) **Математическое ожидание**
Если исх. признаки $X_{j}$ центрированы (т.е. $E[X_{j}]=0$), то математическое ожидание каждой ГК также равно нулю:
$$E[Z_{s}]=0$$
2) **Дисперсия**
Дисперсия каждой ГК равна соотв. СЧ $\lambda_{s}$ ковариационной (корреляционной) матрицы исх. признаков:
$$D(Z_{s})=\lambda_{s}$$
3) **Ковариация**
ГК являются некоррелированными между собой (взаимно ортогональны).
Ковариация между любыми компонентами равна нулю:
$$cov(Z_{s},Z_{l})=0,\ s \neq l$$
4) **Суммарная дисперсия**
Сумма дисперсий всех главных компонент равна сумме дисперсий исх. признаков (следу ковар. матрицы)
$$\sum\limits_{s=1}^{k}D(Z_{s})=\sum\limits_{j=1}^{k}D(X_{j})=\sum\limits_{s=1}^{k}\lambda_{s}$$
5) **Показатель информативности**
Для оценки того, какую часть информации описывает конкретная компонента (или набор из $m$ первых компонент), используется:
- Удельный вес дисперсии: $\large d_{s}=\frac{\lambda_{s}}{\Sigma \lambda_{s}}$
- Кумулятивная доля дисперсии: $\large D_{m}=\frac{\sum_{s=1}^{m} \lambda_{s}}{\sum_{j=1}^{k}\lambda_{j}}$
1) **Корреляция с исх. признаками (факторные нагрузки)**
Коэфф. корреляции между исх. признаком $X_{i}$ и ГК $Z_{j}$ рассчитываются через элементы СВ $u_{ij}$ и СЧ:
$$r(X_{i},Z_{j})=\frac{u_{ij}\sqrt{\lambda_{j}}}{\sigma_{i}}$$