---
status: seed
type: concept
tags:
  - math
  - mephi
  - statistics
  - factor-analysis
created: 2026-01-20
updated: 2026-05-07
title: Определение И Процедура Построения Первой И Последующих Компонент
---

# Определение И Процедура Построения Первой И Последующих Компонент
## Определения Главных Компонент (ГК)
- <u>Первая ГК $(Z_{1})$</u>: Это такая линейная комбинация исходных признаков $X=(X_{1},X_{2},\dots, X_{k})^{T}$, которая среди всех прочих комбинаций обладает наибольшей дисперсией.
- <u>$s$-ая ГК ($$$Z_{s}$)</u>: Это линейная комбинация исходных признаков, которая не коррелирована с $(s-1)$ предыдущими главными компонентами и среди всех прочих лин. комбинаций обладает наибольшей дисперсией.

## Оптимизационная Задача Для Построения 1 ГК
Математически построение первой ГК сводится к поиску вектора весовых коэффициентов $U = (u_{11},u_{12},\dots,u_{1k})^{T}$.
- **Целевая функция**: 
  Максимизация дисперсии компоненты $D(Z_{1})=U_{1}^{T}\Sigma_{X}U_{1} \to \max$, $\Sigma_{X}$ - ковариационная матрица исх. признаков.
- **Ограничение**: Вектор коэффициентов должен быть нормирован: $U_{1}^{T}U_{1}=1$