---
status: stable
type: concept
tags:
  - machine-learning
  - neural-networks
  - backpropagation
created: 2025-12-17
updated: 2026-05-07
title: Обратное распространение ошибки - вывод
---

# Обратное распространение ошибки - вывод

Эта заметка фиксирует математический вывод градиентов для алгоритма [[Обратное распространение ошибки]]. Общий контекст нейронных сетей находится в [[Нейронные сети]].

Рассматривается сеть с одним скрытым слоем. Bias для краткости не записан: его градиент считается так же, как градиент веса при входе, равном $1$.

## Обозначения

> [!note] Обозначения
> $x_{j}$ — $j$-й вход  
> $w_{ij}^{(1)}$ — вес от входа $j$ к скрытому нейрону $i$  
> $w_{li}^{(2)}$ — вес от скрытого нейрона $i$ к выходу $l$  
> $S_{i}^{(1)}$ — взвешенная сумма на входе нейрона $i$ в первом слое  
> $u_{i}$ — выход нейрона $i$ первого слоя после активации  
> $S_{l}^{(2)}$ — взвешенная сумма на входе нейрона $l$ во втором слое  
> $y_{l}$ — выход нейрона $l$ второго слоя  
> $d_{l}$ — истинное значение  
> $F$ — функция активации  
> $\delta$ — локальная ошибка нейрона

## Прямой проход

$$
\begin{align*}
S_{i}^{(1)} &= \sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}^{(1)}x_{j} \\
u_{i} &= F(S_{i}^{(1)}) \\
S_l^{(2)} &= \sum\limits_{i=1}^{k}w_{li}^{(2)}u_i \\
y_{l} &= F(S_{l}^{(2)}) \\
E &= \frac{1}{2}\sum\limits_{l=1}^{m}(y_{l}-d_{l})^{2}
\end{align*}
$$

## Обратный проход для выходного слоя

Для веса $w_{li}^{(2)}$ используется правило цепочки:

$$
\begin{align*}
\frac{\partial E}{\partial w_{li}^{(2)}} &=
\frac{\partial E}{\partial y_{l}}
\cdot
\frac{\partial y_{l}}{\partial S_{l}^{(2)}}
\cdot
\frac{\partial S_{l}^{(2)}}{\partial w_{li}^{(2)}}
\end{align*}
$$

Компоненты производной:

$$
\frac{\partial E}{\partial y_l}=y_l-d_l
$$

$$
\frac{\partial y_l}{\partial S_l^{(2)}}=F'(S_l^{(2)})
$$

$$
\frac{\partial S_l^{(2)}}{\partial w_{li}^{(2)}}=u_i
$$

Итог:

$$
\frac{\partial E}{\partial w_{li}^{(2)}}=(y_l-d_l)F'(S_l^{(2)})u_i
$$

Введём локальную ошибку выходного нейрона:

$$
\delta_l^{(2)}=(y_l-d_l)F'(S_l^{(2)})
$$

Тогда:

$$
\frac{\partial E}{\partial w_{li}^{(2)}}=\delta_l^{(2)}u_i
$$

## Обратный проход для скрытого слоя

Теперь нужна производная ошибки по весу первого слоя:

$$
\frac{\partial E}{\partial w_{ij}^{(1)}}
$$

Вес $w_{ij}^{(1)}$ влияет на $E$ не напрямую, а через все выходные нейроны:

$$
w_{ij}^{(1)} \rightarrow u_i \rightarrow y_l \rightarrow E
$$

По правилу цепочки нужно просуммировать вклады всех путей от скрытого нейрона $i$ к выходным нейронам:

$$
\frac{\partial E}{\partial w_{ij}^{(1)}} =
\sum\limits_{l=1}^{m}
\frac{\partial E}{\partial y_l}
\cdot
\frac{\partial y_l}{\partial u_i}
\cdot
\frac{\partial u_i}{\partial w_{ij}^{(1)}}
$$

Первый множитель:

$$
\frac{\partial E}{\partial y_l}=y_l-d_l
$$

Производная выхода $y_l$ по выходу скрытого нейрона $u_i$:

$$
\frac{\partial y_l}{\partial u_i}
=
\frac{\partial y_l}{\partial S_l^{(2)}}
\cdot
\frac{\partial S_l^{(2)}}{\partial u_i}
$$

Так как:

$$
S_l^{(2)}=\sum\limits_{i=1}^{k}w_{li}^{(2)}u_i
$$

То:

$$
\frac{\partial y_l}{\partial u_i}
=
F'(S_l^{(2)})w_{li}^{(2)}
$$

Производная выхода скрытого нейрона $u_i$ по весу $w_{ij}^{(1)}$:

$$
\frac{\partial u_i}{\partial w_{ij}^{(1)}}
=
\frac{\partial u_i}{\partial S_i^{(1)}}
\cdot
\frac{\partial S_i^{(1)}}{\partial w_{ij}^{(1)}}
$$

Так как:

$$
S_i^{(1)}=\sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}^{(1)}x_j
$$

То:

$$
\frac{\partial u_i}{\partial w_{ij}^{(1)}}
=
F'(S_i^{(1)})x_j
$$

Собираем:

$$
\frac{\partial E}{\partial w_{ij}^{(1)}} =
\sum\limits_{l=1}^{m}
(y_l-d_l)
F'(S_l^{(2)})
w_{li}^{(2)}
F'(S_i^{(1)})
x_j
$$

Вводим локальную ошибку скрытого нейрона:

$$
\delta_i^{(1)}
=
\sum\limits_{l=1}^{m}
(y_l-d_l)
F'(S_l^{(2)})
w_{li}^{(2)}
F'(S_i^{(1)})
$$

Или через ошибку выходного слоя $\delta_l^{(2)}$:

$$
\delta_i^{(1)}
=
F'(S_i^{(1)})
\sum\limits_{l=1}^{m}
\delta_l^{(2)}
w_{li}^{(2)}
$$

Тогда:

$$
\frac{\partial E}{\partial w_{ij}^{(1)}}
=
\delta_i^{(1)}x_j
$$

Ошибка выходного слоя $\delta_l^{(2)}$ проходит назад через вес $w_{li}^{(2)}$, суммируется по всем выходным нейронам и умножается на крутизну активации скрытого слоя. Так получается локальная ошибка $\delta_i^{(1)}$ для каждого скрытого нейрона.

## Итоговые формулы

Для слоя $r$ общий шаблон такой:

$$
\frac{\partial E}{\partial w_{ij}^{(r)}}=\delta_i^{(r)}a_j^{(r-1)}
$$

где $a_j^{(r-1)}$ - выход предыдущего слоя. Для первого слоя $a_j^{(0)}=x_j$, для второго слоя $a_i^{(1)}=u_i$.

Для выходного слоя:

$$
\delta_l^{(2)}=(y_l-d_l)F'(S_l^{(2)})
$$

Для скрытого слоя:

$$
\delta_i^{(1)}
=
F'(S_i^{(1)})
\sum\limits_{l=1}^{m}
\delta_l^{(2)}w_{li}^{(2)}
$$

## Связанные заметки

- [[Обратное распространение ошибки]]
- [[Нейронные сети]]
- [[Линейные модели]]